PROJET TRANSVERSE "GAP'' DE LA FRUMAM

Géométrie, Algèbres d'opérateurs et Physique

 Déscription du projet


 Nous proposons un projet transverse avec la participation de trois départements marseillais différents:

(1) L'Institut de Mathématiques de Luminy (IML), Université d'Aix-Marseille II.

(2)  Le Centre de Physique Théorique (CPT) à Luminy, Université d'Aix-Marseille I & II et Université de Toulon et du Var.

(3) Le Laboratoire d'Analyse, Topologie et Probabilités (LATP) à Château Gombert et St Jerôme, Université d'Aix-Marseille I & III.

Le séminaire commun entre l'IML, le CPT et le LATP a eu directement et indirectement les félicitations du CNRS. En plus, il est considéré comme très réussi par les scientifiques marseillais. Nous demandons une action spécifique du CNRS afin de consolider et d'encourager le développement de ces interactions entre géométrie, algèbres d'opérateurs et physique.

L'état actuel du séminaire et de la coopération interdisciplinaire.

Il y a déjà depuis présque un an et demi un séminaire commun, géré par l'IML, le CPT et le LATP, en géométrie non commutative. Les thèmes du séminaire étaient assez divers: représentations des groupes de Lie, algèbres de von Neumann (probabilités libres, sous-facteurs, cohomologie L2, etc), K-théorie et conjectures de Novikov et Baum-Connes, cohomologie cyclique, géométrie spectrale, systèmes intégrables, groupes quantiques, algèbres de Hecke, géométrie complexe, théorie de jauge (Donaldson, Seiberg-Witten), symétrie miroir, schémas de Hilbert, ainsi que des applications en physique et en théories des probabilités comme le modèle standard, quasi-cristaux, effet Hall quantique, théorie conforme des champs, modèles sur réseaux, mécanique statistique, matrices aléatoires, marches aléatoires, etc. Parallèlement au séminaire, il y avait une coopération entre les deux équipes en géométrie non commutative à l'IML et au CPT. On a réussi à inviter conjointement deux chercheurs internationaux en poste rouge: Andreas Recknagel chercheur en D-branes et théorie des cordes avec une formation en algèbres d'opérateurs; et Ivan Cherednik, expert en systèmes intégrables, groupes quantiques et algèbres de Hecke. On avait déjà eu deux journées spéciales: une consacrée à la théorie conforme des champs à bord, avec Gawedszki et Schomerus, comme invités; et l'autre sur les algèbres d'opérateurs et la théorie ergodique, organisée conjointement avec l'équipe en systèmes dynamiques, avec Gaboriau, Kenyon, Störmer et Schmidt comme invités. Il y aura une session résidentielle au CIRM en janvier-février 2004 sur le thème de "Géométrie Non Commutative en Mathématique et Physique'', organisée conjointement par l'IML et le CPT. De plus, on a déjà commencé à mettre en place des cours de DEA communs entre les mathématiques et la physique. Les trois laboratoires ont contribué financièrement pour soutenir le séminaire, avec une somme de 5.000 E en total (évènements spéciaux non compris).

ELARGISSEMENT ENVISAGE.

Séminaire interdisciplinaire au niveau marseillais.

A travers ce projet transverse, nous proposons donc de augmenter ces activités interdisciplinaires, avec deux buts principaux. Le premier but est de créer une "équipe sans murs'' informelle entre plusieurs campus marseillais, avec thème central "géométrie, algèbres d'opérateurs et physique''. Nous proposons que chaque trois semaines le séminaire regulier serait remplacé par des rencontres fédérales à St Charles, consacrés aux thèmes plus larges qu'avant. L'idée est d'établir une collabüoration entre des groupes de chercheurs à Marseille dont les thèmes apparaissaient fréquemment dans notre séminaire ou dont les séminaires traitaient des thèmes voisins. Voice une liste de ces groupes et de ces thèmes. Bien entendu, cette liste n'est pas exhaustive. Elle sert simplement à donner une idée de la largeur potentielle du projet transverse. Toutes les personnes mentionnées ci-dessous ont soit déjà participé dans une de nos activités, soit exprimé leur enthousiasme `pour ce projet.

(1) Algèbres d'opérateurs, théorie des représentations: Kasparov, Delorme, Labesse, Puschnigg, Zekri, Wassermann, Marin (IML).

(2) Géométrie symplectique et quantification: Duval (CPT), Klimcik (IML), Iglesias, Mohsen (LATP).

(3) Théorie géométrique des groupes et topologie en basse dimension: Short, Los, Lustig, Reeves (LATP).

(4) Géométrie complexe, espaces des modules, théorie de jauge: Teleman, Dloussky, Oeljeklaus, Hubbard, Briend, Haissinsky(LATP), Bruasse, Hubert, Arnoux (IML).

(5) Mécanique statistique et phénomènes aléatoires: Shlosman, Zagrebnov, Sirugue-Collin, Messager, Miracle-Sole, Pillet (CPT), Tsfasman (IML), P. Mathieu, Pardoux, Velenik (LATP).

(6) Physique quantique: Schücker, Iochum, Coquereaux, Ogievetsky, Rovelli, Lazzarini, Krajewzski, Oeckl, Mourre (CPT).


Evolution historique des thèmes:

(a) GEOMETRIE NON COMMUTATIVE.

Le séminaire commun entre les deux équipes en géométrie non commutative à l'IML et au CPT était originalement consacré aux algèbres d'opérateurs et à la théorie des représentations, ainsi que leurs applications en topologie, géométrie et physique. Le sujet d'algèbres d'opérateurs était présent au CPT depuis sa création, toujours relié à la mécanique statistique et à la théorie quantique des champs. En effet, Bratteli et Robinson ont écrit leur livre sur la mécanique statistique quantique au CPT et Doplicher, Haag et Roberts y ont formulé leur théorie algébrique des champs quantiques. En même temps, il y avait aussi d'autres activités importantes reliées sur le modèle d'Ising. Parallèlement, la théorie des cordes s'est développeée ainsi que la théorie des modèles sur réseaux exactement resolubles en mécanique statistique. La théorie conforme des champs et la théorie des groupes quantiques sont apparues comme bases mathématiques communes de ces développements. Les trois premiers thèmes mentionnés ont trouvé une réinterprétation et un rajeunissement dans ce nouveau cadre. Des nouveaux modèles, souvent réalisés experimentalement en mécanique statistique (par exemple l'effet Kondo d'Affleck), fournissent des exemples en basse dimension, qui manquaient sérieusement auparavant. C'est ainsi qu'on a eu des percées en théorie des sous-facteurs, invariants des noeuds et des variétés de dimension trois, etc. Les idées de Connes en géométrie différentielle non commutative, avec leurs nombreuses applications en mathématiques et physique, occupent une position centrale. La théorie des probabilités libres de Voiculescu, liée aux matrices aléatoires, fournit une autre connexion transverse.

(b) ASPECTS GEOMETRIQUES DE LA THEORIE DES CORDES.

De plus, la théorie des cordes fournit plein de prédictions totalement imprévues en géométrie complexe, symplectique, algébrique et différentielle. En effet, la symétrie miroir, les invariants de Seiberg-Witten et de Gromov-Witten sont des exemples importants des prédictions de la théorie des cordes, ainsi que des nouvelles compréhensions sur les espaces de modules et les espaces de Teichmüller. Meme si cette théorie n'a eu d'application expérimentale qu'en mécanique statistique, les idées mathématiques sous-jacentes ont une cohérence et une puissance remarquable. Pour cette raison, ces aspects géométriques étaient incorporés dans le séminaire.

(c) AUTRES ASPECTS MATHEMATIQUES DE LA PHYSIQUE.

Les concepts découverts au CPT par l'école de Souriau et par Becchi, Rouet et Stora restent des outils quotidiens dans cette histoire: en particulier l'application moment et la quantification géométrique en dimension infinie. L'approximation semi-classique mène aux systèmes intégrables, interessants de plusieurs points de vues (matrices aléatoires, algèbres de Hecke, structures de Poisson). Il faut aussi mentionner les idées de la renormalisation et les diagrammes de Feynman: leur utilisation en mathématiques devient de plus en plus importante (algèbre de Connes-Kreimer, invariants de type fini des variétés de dimension trois, quantification formelle des structures symplectiques, etc). La théorie conforme des champs à bord est un bel exemple d'activité actuelle: elle touche la théorie de la percolation (conjecture de Cardy-Carleson, récemmment démontré par Smirnov, et l'existence de la limite de changement d'échelle, résultat récent de Lawler, Schramm et Werner), la théorie des sous-facteurs et la théorie des D-branes et des cordes ouvertes.

(d) THEORIE GEOMETRIQUE DES GROUPES.

La décision d'inclure les topologues géométres du LATP dans le projet transverse s'impose depuis longtemps, la séparation actuelle étant malheureuse. Dans la topologie en basse dimension, la physique a déjà donné lieu aux invariants de Jones-Witten et de Vassiliev-Rozansky-Witten des variétés de dimension trois, mais ils restent mystérieux. Ils n'ont jamais été reconciliés avec le programme de géométrisation de Thurston. Par contre, c'est la théorie géometrique des groupes qui a eu le plus grand impacte sur la géométrie non commutative. Les idées fondamentales de Gromov sur les groupes discrets ont déjà eu une influence profonde dans l'approche K-théorique de Kasparov aux conjectures de Novikov et Baum-Connes. Plus recemment, il y a eu des nouvelles interactions trés remarquables entre facteurs de type II¹ et groupes non moyennables (Gaboriau, Lück, Popa, Ozawa). On est au debut d'une période trés excitante - une espèce d'avalanche - où les téchniques géométriques antérieurement utilisés en K-théorie miraculeusement peuvent être adaptés pour étudier les algébres de von Neumann des groupes hyperboliques. Les thèmes communs comprennent les nombres de Betti L2 (conjecture d'Atiyah), la rigidité, les groupes hyperboliques, les propriétés de Kazhdan et de Haagerup, l'espace de Teichmüller et le groupe "mapping class''. Le projet transverse mettra en place un forum pour encourager ces développements mutuellement bénéfiques.

AUTRES THEMES.

Il y a aussi quelques thèmes qui n'apparaissent pas explicitement mais qui sont néanmoins toujours sous-jacents, par exemple représentations des groupes, systèmes dynamiques, théorie ergodique et théorie des probabilités. Les chercheurs de ces sujets ne sont pas exclus du projet transverse; au contraire leur participation est encouragée, même si la thèmatique était délibérement choisie en mathématiques non discrètes. On envisage même d'avoir les journées speciales consacrées à de tels thèmes. (Par exemple, une journée sur la probabilité libre, centrée autour de Connes, Biane, Voiculescu et Schlyaktenko, une journée sur les représentations des algèbres de Hecke, centrée autour de Cherednik et Opdam, une journée spéciale sur les groupes discrets,....)

Format du séminaire.

On envisage de développer le séminaire déjà établi de deux façons différentes. On va garder le séminaire habituel, qui aura lieu chaque vendredi à l'IML, mais en élargissant les sujets couverts en physique (par exemple en géométrie symplectique et mécanique statistique). Toutes les trois semaines, le séminaire aura lieu au campus de St Charles dans les salles attachées à la FRUMAM. Après avoir déjeuné ensemble au centre ville, on aurait des exposés tout l'après-midi, sous plusieures formes: deux exposés par des experts invités sur un sujet choisi; des exposés à un niveau très général par des chercheurs locaux; des exposés par et pour les jeunes, avec l'assistance de chercheurs locaux.

Attraction et formation de jeunes.

Le deuxième but du projet transverse sera de créer quelque chose de spécial à Marseille afin d'attirer les jeunes mathématiciens francais et européens. La forme du séminaire était choisie pour cette raison. De plus, comme dans la région marseillaise on est en train de monter des cours de "masters'' communs, en même temps, sous l'égide de la fédération, les quatres laboratoires impliqués essayeront de mettre en place un cours pour la cinquième année (au niveau du DEA ancien) qui permet la possibilité d'une formation approfondie dans tous les domaines représentés. On souhaite offrir plusieurs cours en mathématiques pures et physique théorique avec un cursus coordonné. Ainsi, on va rectifier le dèsequilibre occasionné par la distribution artificielle des sujets dans les quatre laboratoires et bien partager la richesses de nos ressources. Jusqu'à présent un tel cursus coordonné n'a pas été proposé; celà semble être le bon moment et une bonne utilisation de la fédération.

Rélation avec le groupe de travail "Bords probabilistes de groupes''.

Les rencontres principaux du projet transverse auront lieu toutes les trois semaines. Ils seront de nature très générale, à l'intention d'un large publique marseillais. La plus grande partie de l'argent est déstinée à ces rencontres (comme indiqué ci-dessous). Pendant les deux autres semaines, le séminaire régulier et le groupe de travail fonctionnent de façon complémentaire et indépendante, comme avant.

Autres activités.

On va aussi continuer à demander des postes de visiteurs de trois mois au CNRS dans le cadre du projet commun. Peut-être ceci pourra être conjugué avec des invités universitaires, sujet à negotations avec les directeurs des quatre laboratoires impliqués. De plus, quand le projet aura bien démarré, on demandera des soutiens régional et européen. Le projet sera placé sur les auspices de la FRUMAM, qui sera responsable de sa gestion financière. Il sera coordonné par Antony Wassermann (IML), Thomas Schücker (CPT) et Hamish Short (LATP). Cette coordination sera informelle et collèguiale; l'aspect "géométrie complexe, symétrie miroir'' du séminaire habituel sera toujours organisé par André Teleman.

BUDGET

Frais Envisagés:

Nombre de seminaires réguliers: 20 par an × 200 E = 4.000 E

Visiteurs de courte durée (à courte échéance): 2.500 E

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Nombre de seminaires spéciaux: 6 par an × 500 E = 3.000 E

Nombre de journées spéciales: 3 par an × 1.000 E = 3.000 E
   

Total:  12.500 E

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Contributions agréées:

IML: 3.500 E

CPT: 2.000 E

LATP: 1.000 E

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CNRS: 6.000 E

Total: 12.500 E