Jean-François Dat
Espaces de périodes sur les corps p-adiques ou finis:
En géométrie complexe, les Espaces de Périodes introduits par Griffith
sont des variétés analytiques qui classifient des Structures de Hodge. Pour
les variétés algébriques sur un corps p-adique, Fontaine a développé un
analogue de la théorie de Hodge classique dans laquelle le role des Structures
de Hodge est joué par certains "Phi-modules filtrés admissibles". Rapoport et
Zink ont alors introduit des variétés analytiques p-adiques, concrètement des
ouverts analytiques de certaines variétés de drapeaux, qui classifient ces
objets. La motivation principale est d'ordre arithmétique : par la théorie de
Fontaine, on peut espérer que le Phi-module filtré universel donne lieu à une
représentation Galoisienne cristalline "universelle". Malheureusement, ce voeu
pieux est souvent en défaut. Une conjecture rectificative, tenant compte de
certaines subtilités de la géométrie analytique p-adique, a été énoncée il y a
15 ans, mais tient toujours. Un point remarquable dans la construction des
Espaces de Periodes est que la condition d'admissibilité s'interprète comme
une condition de "semi-stabilité" de la filtration de Hodge. Plus précisément,
si l'on munit la catégorie des Phi-modules filtrés d'une bonne notion de pente
(degré sur rang), alors les Espaces de periodes sont des espaces de modules
d'objets semi-stables dans cette catégorie. Il y a donc une analogie
remarquable avec par exemple la théorie des espaces de modules de fibrés sur
une courbe (stratification de Harder-Narasimhan, critère de semi-stabilité de
Hilbert-Mumford, formalisme Tannakien pour passer aux G-objets avec G
réductif, etc.). Par ailleurs, si l'on remplace les Phi-modules par de betes
espaces vectoriels, on s'affranchit de la nature p-adique du corps de base. En
transposant aux corps finis on obtient des familles de G-variétés qui ont été
récemment étudiées par Orlik et Rapoport, et comparées aux variétés de
Deligne-Lusztig.
Dans ces exposés, on se propose d'expliquer, autant que possible, le contenu
du paragraphe précédent.