Rencontre
Substitutions et automorphismes de groupes libres
18-22 avril 2005
CIRM, Luminy

Objectifs
Liste des cours
Programme
Participants

Lamination           Rauzy

Objectifs


Le but de cet atelier est de mettre en commun les connaissances et les techniques propres au monde des substitutions (ou morphismes du monoïde libre) et celles propres au monde des groupes libres.


Ces deux branches, qui ont une intersection non vide (celles des substitutions inversibles, ou automorphismes positifs du groupe libre), se sont pendant longtemps développées indépendamment. Depuis un ou deux ans, un rapprochement commence à s’opérer, notamment à Marseille où l’on trouve réunis des spécialistes de chacune des branches.

Au cours de cet atelier, nous souhaitons notamment mettre l’accent sur deux thématiques qui nous semblent prometteuses.

1. La complexité des points fixes infinis (ie la fonction c(n) qui donne le nombre de sous-mots finis de longueur n qui apparaissent dans un point fixe infini). Dans le cas des substitutions, il existe des résultats précis : majoration de c(n) par une fonction ne dépendant que de n, équivalents de c(n)… Du fait de l’existence de simplifications pour les morphismes des groupes libres, les techniques propres aux substitutions ne peuvent pas se généraliser directement. L’utilisation de « train-tracks » (à la Bestvina-Feighn-Handel, Los, Lustig) devrait constituer un bon point de départ pour attaquer le problème.


2. Pour les substitutions primitives (resp. les automorphismes extérieurs à puissances irréductibles (iwip)), on obtient un système dynamique symbolique: le langage engendré par les sous-mots finis d’un point fixe (resp. la lamination attractive) avec l’action du décalage et l’action de la substitution (resp. de l’automorphisme extérieur). Il existe plusieurs représentations géométriques de ce système dynamique : dans les cas des substitution de type Pisot, on a le fractal de Rauzy ; dans le cas des automorphismes induits par des homémorphismes de surfaces, on a la lamination mesurée géométrique (dans le plan hyperbolique) et l’arbre réel qui lui est dual ; pour les automorphismes iwip, on peut construire un arbre réel invariant à partir d’un train-track…


Un des buts de l’atelier est de mettre en correspondance ces différents points de vue, en mettant, notamment, en évidence des semi-conjugaisons non triviales entre ces différents systèmes dynamiques. Les mini-cours du matin (« Panorama sur le fractal de Rauzy » (Arnoux/Siegel), « Arbres réels » (Levitt), « Complexité des points fixes de substitutions » (Cassaigne), « Train-tracks » (Los), « Courants géodésiques mesurés » (Lustig)) doivent permettre de donner des outils communs préalables aux discussions plus informelles qui auront lieu les après-midi.

 

 

Liste des cours



Panaroma sur le fractal de Rauzy (Siegel/Arnoux)

I- Autour des fractals de Rauzy
 
Les fractals ou tuiles de Rauzy sont des objets geometriques qui apparaissent naturellement dans divers domaines (numeration, pavage, dynamique symbolique). 
On les introduira comme équivalent de l'intervalle [0,1[ pour un système de numeration en base non entieres, ce qui permettra d'aborder leurs proprietes geometriques. 
On décrira ensuite comment on peut associer a toute substitution (morphisme du monoide libre) un tel fractal, et l'interpretation dynamique que ce point de vue apporte.
 
II- Fractals de Rauzy et substitutions généralisées,
 
1) les fractals de Rauzy, vus  comme projection du point fixe d'une substitution.
2) la construction par exduction, due à Rauzy, que je ferai en détail  sur un exemple.
3) sa formalisation, d'abord par substitutions généralisées, due à Ito,  puis par substitution duale, avec divers exemples (substitutions sturmiennes en particulier).
4) un peu d'extension multidimensionnelles de substitutions, pour dire qu'on sait aussi maintenant faire du non-Pisot.


Arbres réels (Levitt)

Complexité des points fixes de substitutions (Cassaigne)

Train-tracks : des surfaces aux groupes libres (Los)
 
- Feuilletages mesures sur les surfaces et train tracks.
- Train tracks et echange d'intervalles.
- Train tracks et Pseudo-Anosov.
- Automorphismes irreductibles des groupes libres.
- Existence des train tracks, algorithme.`

Courants géodésiques mesurés (Lustig)

 

Proposition de programme

Les cours ont lieu dans la ¨grande¨ salle du Centre de Formation (sous le CIRM).


L 18 -   9:15 - 10:45:  Panorama fractal Rauzy I (Siegel)
L 18 - 11:00 - 12:30 : Arbres réels I (Levitt)
L18 - 17:00 - 18:00 :  (Lefranc)

Ma 19 -   9:15 - 10:45:  Courants géodésiques I (Lustig)
Ma 19 - 11:00 - 12:30 : Complexité I (Cassaigne)

Me 20 -   9:15 - 10:45:  Train-tracks I (Los)
Me 20 - 11:00 - 12:30 : Panorama fractal Rauzy II (Arnoux)

Je 21 -   9:15 - 10:45:  Arbres réels II (Levitt)
Je 21 - 11:00 - 12:30 :  Complexité II (Cassaigne)

Ve 22 -   9:15 - 10:45:  Train-tracks II (Los)
Ve 22 - 11:00 - 12:30 :  Courants géodésiques II (Lustig)

Les après midi sont consacrées à des discussions libres, des ateliers et des groupes de travail. Il pourra éventuellement y avoir un exposé en fin de journée, par exemple sur le travail d'un jeune chercheur (18:00-19:00).

 

Participants potentiels

Pierre ARNOUX
Waldemar BARRERA

Nicolas BEDARIDE
Christiane BERCOFF

Julien BERNAT

Valérie BERTHÉ
Xavier BRESSAUD
Jean-Yves BRIEND
Julien CASSAIGNE
Maria-Isabel CORTEZ
Thierry COULBOIS

Sebastien FERENCZI
 Jean-Marc GAMBAUDO
Francois GAUTERO
Vincent GUIRARDEL
Peter HAISSINSKY
Arnaud HILION
Pascal HUBERT

Indrissa KABORE
Natasha KOPTEVA
Marc LEFRANC
Samuel LELIEVRE
Gilbert LEVITT
Jérôme LOS
Martin LUSTIG
Daniel MATIGNON

Christian MAUDUIT

Thierry MONTEIL

Arnaldo NOGUEIRA
Samuel PETITE
Christophe PITTET
Jean P. PREAUX
Hamish SHORT
Anne SIEGEL
Serge TROUBETZKOY