ACI "Nouvelles interfaces des Mathématiques" 2004
Numération
2004-154




Description :

L'objectif de ce projet est de consolider et de développer la coopération entre mathématiciens, informaticiens et physiciens autour de l'étude de systèmes dynamiques issus des numérations non classiques, et leur application à la modélisation des quasi-cristaux. Les thèmes développés dans ce projet font appel à un éventail assez large d'outils communs, issus de la combinatoire, de l'algorithmique, de la dynamique symbolique, de la géométrie et de théories probabilistes. Les numérations non classiques sont une généralisation des systèmes de numération positionnelle en base entière. Les représentations des nombres sont obtenues par décomposition selon les puissances d'une base réelle ou complexe beta. Nous désignerons sous le terme de beta-numération ces modes de représentation non classiques. Les nombres sont représentés en général par des suites de symboles pris dans un ensemble fini, un alphabet de chiffres. Traditionnellement,les nombres réels sont des suites infinies, et les nombres entiers des suites finies sur cet alphabet. Il est donc naturel de traiter les nombres avec les outils de la combinatoire des mots. L'étude des modes de représentation des nombres fait également appel à des concepts et des résultats issus de la dynamique symbolique (notions de complexité, d'entropie, de répartition des chiffres dans un développement...), mais aussi à des outils de l'informatique théorique, tels que les transducteurs, qui mènent à des calculs explicites ; ceux-ci pourront être effectués sur une plateforme de manipulation d'automates qui commence à être mise en place à l'ENST.
De plus, il existe d'importantes relations entre les
représentations géométriques des substitutions et la
beta-numération. Ainsi, toute substitution de type Pisot
définit un
système de numération.  D'autre part, des résultats dus à  
Thurston
(1989) ont mis en évidence les liens entre pavages auto-similaires et
numération en base beta non entière. Beaucoup reste à faire  
pour
mieux appréhender les liens entre systèmes de numération,
substitutions et pavages. La représentation des nombres en base
irrationnelle joue aussi un rôle fondamental dans les modélisations
discrètes des quasi-cristaux: les structures quasicristallines ont un
ordre à grande distance, tout en présentant des symétries locales  
de
rotation d'ordre 5, ou 8, ou 10, ou 12. Des ensembles discrets de  
nombres,
les beta-entiers, sont associés de facon inhérente à ces
structures, et l'étude de leurs propriétés permet de donner à
la quasicristallographie une base algébrique. En particulier
cette modélisation porte un éclairage nouveau sur la relation bien
connue entre les structures quasicristallines et les pavages
auto-similaires, comme le pavage de Penrose pour le plan.




Membres

Rencontres

Bibliographie



Membres :

Coordinateur : Pierre Arnoux


Equipe Institut Fourier - UMR 5582
Coordinateur : Jean-Louis Verger-Gaugry


Equipe Institut de Mathématiques de Luminy IML - UMR CNRS 6206
Coordinateur : Pierre Arnoux

Equipe LIRMM Dept Informatique  Montpellier - UMR CNRS 5506
Coordinateur : Valérie Berthé

Equipe LTCI-ENST Laboratoire traitement de l'information - UMR 5141
Coordinateur : Jacques Sakarovitch


Rencontres



Bibliographie


Un survol sur les systèmes de numération
Un article sur les pavages associés à certains systèmes de numération
Un cours sur le développement dans la base du nombre d'or
Un problème sur le même sujet, et son corrigé
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