THÈSES 2003-2004

Redha SAMET
(thème ATI)

Titre : Sur l'arithmétique de Modules de Drindeld sur un corps fini

Directeur(s) de thèse : Serge VLADUT

Rapporteurs : .

Jury : A. Pantchichkine (Univ.Grenoble), M. Reversat (Univ.Toulouse), Y. Aubry (Univ.Caen), G. Lachaud (IML), S. Vladut (IML).

Date : 30 juin 2004

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : Il existe une analogie profonde entre corps de fonctions d'une variable sur un corps fini et corps de nombres. Dans cette analogie, les modules de Drinfeld jouent le rôle de courbe elliptique ou de variété abélienne. La différence principale entre les courbes elliptiques et les modules de Drinfeld de rang 2 est que l'anneau de baseest remplacé par un anneau de Dedekind sur un corps global de caractéristique positive pour les modules de Drinfeld.
Nous traiterons explicitement dans cette thèse des résultats et des exemples en analogie directe avec des théorèmes bien connus sur les courbes elliptiques. Ces résultats concernent des critères de maximalité des anneaux d'endomorphisme des modules de Drinfeld de rang r avec des exemples des anneaux d'endomorphisme non maximaux. Nous nous intéresserons ensuite aux modules de Drinfeld de rang 2 où on calculera le nombre des classes d'isogénies. Nous donnerons la condition pour la maximalité des anneaux d'endomorphisme et la structure des modules ø(L) des points rationnels. En dernière partie, nous étudierons les classes d'isomorphismes des modules de Drinfeld de rang 2 et nous calculerons le nombre des sous-modules des points rationnels non cycliques.

Mots-clés : modules de Drinfeld sur un corps fini, courbes elliptiques, caractéristique polynomiale des modules de Drinfeld, classes d'isogénies des modules de Drinfeld, anneaux d'endomorphisme, critères de maximalité, modules de torsion, modules des points rationnels.

Title : About the arithmetic of Drinfeld modules over a finite fields.

Abstract : There exists a deep analogy between global function fields and algebraic number fields. In that analogy, Drinfeld modules play the role of elliptic curves or abelian varieties. The main difference between elliptic curves and Drinfeld modules of rank 2 is that for Drinfeld modules the base ringis substituted by a Dedekind domain A inside a global field of positive characteristic.
We prove in this thesis some results and examples very similar to theorems well known in elliptic curves. These results are about the maximality of endomorphism rings Drinfeld modules of rank r where we give examples of endomorphism rings not maximal orders. We study the arithmetical properties of Drinfeld modules over a finite field. We give the number of isogeny class of Drinfeld A-modules of rank 2 over a finite field L, where A=[T] and L finite extension of . Then we prove some conditions about the maximality of endomorphism rings of Drinfeld modules, finally we study the structure of rational points modules. In the last part we study also the isomorphism class and we give the number of rational points modules which are not cyclic.

Keywords : Drinfeld modules over a finite field, elliptic curves, characteristic polynomial of Drinfeld modules, isogeny class of Drinfeld modules, endomorphism rings, maximal orders, torsion modules, rational points modules.

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Mohamed Saadbouh MOHAMED AHMED
(thème ATI)

Titre : Modules de Drindeld de rang 2 sur un corps fini

Directeur(s) de thèse : Serge VLADUT

Rapporteurs : B. Angles, A. Pantchichkine.

Jury : B. Angles (Univ.Caen), Y. Aubry (Univ.Caen), G. Lachaud (IML), A. Pantchichkine (Univ.Grenoble), S. Vladut (IML).

Date : 30 juin 2004

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : La notion de modules de Drinfeld est le centre de cette thèse, cette notion fut introduite par Drinfeld en 1973, comme étant des " modules elliptiques" appelés de nos jours modules de Drinfeld.
Ceux sont des objets algèbriques analogues aux courbes elliptiques sur les corps des nombres et sur les corps finis, obtenus par la réduction modulo une place non-archimédiennene.
Une étude de l’arithmétique de tels objet devient légitime, motivée par l’arithmétique des courbes définies sur un corps fini initiée par Artin, Hasse et Weil.
Dans cette direction on pousse cette analogie, pour un module de Drinfeld de rang 2, à la majorité de points étudiés pour des courbes elliptiques sur un corps fini. On donne plus précisement un analogue du théorème de Weil, théorème de Deuring-Waterhouse, et un analogue du travail de S. Vladut sur la cyclicité de tel structure algébrique.

Mots-clés : Corps finis, Courbes Elliptiques, Modules de Drinfeld, Anneau de Dedekind.

Title : Drinfeld Modules of rank two over finite fields

Abstract : The core of this thesis is the structure of Drinfeld Modules. This notion was introduced by Drinfeld in 1973, as "elleptic modules". These algebraic objects are the analog of elleptic curves on both of the field of numbers and the finite fields, given by the reduction modulo non-archimedian place.
The arithmetical study of such objets becomes legitim, motivated by the arithmeticsofthecurvesdefinedonafinite fields and initiated by Artin, Hasse and Weil. In this direction, we extend this analogy for Drinfeld modules of rank two, in fact we give one analog of Weil theorem, Deuring-Waterhouse theorem, and the work of S.Vladut for the cyclicity of such algebraic structure.

Keywords : Finite fields, elleptic curves, Drinfeld modules, ring of Dedekind.

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Luca PAOLINI
(thème LDP)

Titre : Lambda-théories : quelques investigations

Directeur(s) de thèse : Jean-Yves GIRARD et Giuseppe ROSOLINI

Rapporteurs : A. Bucciarelli, S.Ronchi Della Rocca.

Jury : .

Date : 23 janvier 2004

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : .

Mots-clés :

Title : Lambda-Theories: some investigations

Abstract :

Keywords :

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Nicolas GOUILLON
(thème ATI)

Titre : Minorations explicites de formes linéaires en deux logarithmes

Directeur de thèse : Michel LAURENT

Rapporteurs : Maurice Mignotte, Michel Waldschmidt.

Jury : Gilles Lachaud, Michel Laurent, Stéphane Louboutin, Maurice Mignotte, Robert Rolland, Michel Waldschmidt.

Date : 4 décembre 2003

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : Les minorations de combinaison linéaire, à coefficients entiers, de logarithmes de nombres algébriques constituent un outil important dans la résolution effective de certaines classes d'équations diophantiennes. Le cas particulier de deux logarithmes est à cet égard particulièrement utile. Nous utilisons ici, pour l'obtention de ces minorations, la méthode dite de Schneider avec multiplicité. La démonstration repose sur l'utilisation des déterminants d'interpolation et d'un lemme de zéros, dont la preuve reprend la construction originelle de D.W. Masser, qui se révèle, dans le cadre de la méthode utilisée ici, plus efficace que les résultats généraux précédemment employés. Nous utilisons ensuite une méthode d'encadrement standard, utilisant une inégalité de Liouville et un lemme de Schwarz, pour obtenir une inégalité fondamentale faisant intervenir de nombreux paramètres arbitraires qui permettent une grande flexibilité. Nous déduisons de cette dernière une liste de minorations totalement explicites.

Mots-clés : théorie des nombres, formes linéaires de logarithmes, lemme de zéros.

Title : Explicit lower bounds for linear forms in two logarithms

Abstract : The lower bounds for linear combinations with integer coefficients of algebraic number of logarithms are important tools in towards the effective resolution of some diophantine equation classes. On this context the particular case of two logarithms is especially useful. To obtain such lower bounds we use here the so-called Schneider's method with multiplicity. The proof is based on the use of interpolation determinants and on a multiplicity estimate. Our multiplicity estimate, whose proof is reminiscent of the original method due to D.W. Masser, appears, in our case, to be more efficient than the general statements previously employed. We use a standard method to obtain a lower and an upper bound for some non zero determinant that enables us to obtain a fondamental inequality containing many arbitrary parameters. We can deduce from this last inequality a list of lower bounds which are totally explicit for linear forms of logarithms.

Keywords : number theory, linear forms of logarithms, lemme of zeros.

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Page personnelle (homepage) : http://iml.univ-mrs.fr/~gouillon/