Institut de Mathématiques de Luminy

THÈSES 2002-2003


Dates soutenances Noms et titres équipes Photos
20 décembre 2002 Pierre BOUDES
Hypercohérences et jeux.
(Hypercoherences and games)
LDP
18 décembre 2002 Boris ADAMCZEWSKI
Approche dynamique et combinatoire de la notion de discrépance.
(Dynamic and combinatoric approach of the discrepancy notion)
DAC


Boris ADAMCZEWSKI
(équipe DAC)

Titre : Approche dynamique et combinatoire de la notion de discrépance

Directeur de thèse : Valérie BERTHÉ

Rapporteurs : Yann Bugeaud, Robert Tijdeman.

Jury : Yann Bugeaud, Robert Tijdeman, Jean-Paul Allouche, Pierre Arnoux, Jean Berstel, Valérie Berthé.

Date : 18 décembre 2002

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : Une idée essentielle dans ce travail est d'introduire et de formaliser des notions de répartition dans un contexte symbolique, permettant également l'obtention de résultats pour les rotations toriques. Nous introduisons pour cela deux fonctions de discrépance, l'une associée à une suite symbolique et l'autre associée au sous-shift sous-jacent. Dans le cas des points fixes de substitutions primitives, nous donnons une description simple et précise du comportement asymptotique de ces fonctions en montrant que ce dernier est en partie imposé par le spectre de la matrice d'incidence de la substitution. Nous explicitons ensuite les interactions entre les propriétés de répartition et d'équilibre d'une suite symbolique, en montrant que celles-ci sont clairement établies dans le cadre substitutif. Nous obtenons une expression S-adique explicite des codages binaires de rotations, basée sur une version multiplicative de l'induction de Rauzy pour les échanges de trois intervalles. Cette approche dynamique permet d'introduire un développement en fractions continues bi-dimensionnel intimement lié à ces suites. Il satisfait à un théorème de Lagrange, à savoir que le développement est ultimement périodique si et seulement si les paramètres appartiennent à un même corps quadratique. Nous en déduisons une caractérisation des codages substitutifs primitifs, que nous utilisons pour étudier le comportement asymptotique de sommes liées à la discrépance des suites (n{alpha})indice n > ou = 0. Nous obtenons une propriété de forte irrégularité (au sens de Sos) ainsi que l'existence, sur quelques exemples, d'ensembles exceptionnels de discrépance locale particulièrement grande. Nous utilisons enfin l'expression S-adique des codages de rotations pour déterminer les répétitions qui interviennent dans ces suites. Nous appliquons ces résultats à l'étude spectrale d'opérateurs de Schrödinger discrets ainsi qu'à la transcendance de certains nombres réels.

Mots-clés : Discrépance, substitution, dynamique symbolique, rotations toriques, systèmes de numération, ensembles exceptionnels, équilibre, exposant critique, transcendance, opérateurs de Schrödinger discrets

Title : Dynamic and combinatoric approach of the discrepancy notion

Abstract :


Keywords :

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(4,5 Mo)


Page personnelle (homepage) : http://iml.univ-mrs.fr/~adamczew/



Pierre BOUDES
(équipe LDP)

Titre : Hypercohérences et jeux

Directeur de thèse : Thomas EHRHARD

Rapporteurs : Pierre-Louis Curien, Glynn Winskel.

Jury : Patrick Baillot, Pierre-Louis Curien, Thomas Ehrard, Jean-Yves Girard, James Laird, Glynn Winskel.

Date : 20 décembre 2002

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : Cette thèse porte sur les propriétés mathématiques du Calcul et, plus particulièrement, sur le déterminisme et la séquentialité. Dans une perspective issue de la théorie de la démonstration, elle porte aussi sur l'accès aux ressources, avec l'étude des exponentielles de la Logique Linéaire, ainsi que sur l'interactivité interne du Calcul, dont la Ludique de J.-Y. Girard tire par ailleurs parti. Notre point de vue est celui de la sémantique dénotationnelle : nous modélisons le Calcul en interprétant ses agents par des objets invariants par exécution. Les modèles sont de deux sortes : certains, statiques, exhibent des relations qui unissent les agents du Calcul, et d'autres, dynamiques, focalisent sur l'historique des interactions entre agents, comme dans la sémantique des jeux où les agents sont des stratégies. Le modèle des hypercohérences, où les agents sont des cliques dans des hypergraphes, bien que statique, a de bonnes propriétés de séquentialité : T. Ehrhard a montré que les hypercohérences forment le collapse extensionnel des algorithmes séquentiels. La dynamique du Calcul y est internalisée : nous la reconstruisons, par déploiement d'hypergraphes. Nous obtenons des jeux à bord où les polarités logiques, telles qu'étudiées par O. Laurent, prévalent. Le bord est le lieu où les calculs terminent. Dans le cas linéaire il correspond précisément, par effacement des historiques, au modèle statique des relations. Les hypercohérences sont un raffinement uniforme de ce dernier modèle. Uniforme signifie que les agents n'anticipent leurs arguments que comme produit par d'autres agents. Cette uniformité efface de la structure du Calcul et limite les possibilités de reconstruction. Un récent procédé de A. Bucciarelli et T. Ehrhard fournit des modèles non-uniformes proches des hypercohérences. Nous en améliorons certains en construisant leur exponentielle libre. Ces modèles non-uniformes ne sont pas séquentiels mais, chose surprenante, le déterminisme est au rendez-vous. Le retour à l'uniforme consiste alors en une restriction simple et immédiate aux lieux de l'interaction. Ceci fournit un cadre sémantique très modulaire, idéal pour la comparaison avec les modèles dynamiques. Ce travail met aussi en évidence une réversibilité temporelle des jeux à bord, correspondant au passage à l'orthogonal. Nous montrons comment cette réversibilité suggère une nouvelle lecture des jeux polarisés d'O. Laurent ([Lau02a]) qui devrait fournir le bon cadre pour la comparaison avec les hypercohérences.

Mots-clés :

Title : Hypercoherences and games

Abstract :


Keywords :

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(1,1 Mo)


Page personnelle (homepage) :
http://iml.univ-mrs.fr/~boudes/



Last update : may 22, 2007, EL.