Institut de Mathématiques de Luminy

THÈSES 2000-2001


Dates soutenances Noms et titres Équipes
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26 octobre 2000 Éric FÉRARD
Poids des duaux des codes BCH et sommes exponentielles
(Weight of dual of BCH codes and exponential sums)
ATI
8 décembre 2000 François-Régis BLACHE
Majorations de sommes exponentielles sur les anneaux de Galois
(Bounds for exponential sums over Galois rings)
ATI  
12 décembre 2000 Anne SIEGEL
Représentations géométrique, combinatoire et arithmétique
des systèmes substitutifs de type Pisot
(Geometric, combinatorial and arithmetric representations
of substitution dynamical systems of Pisot)

DAC  
15 décembre 2000 Alexandre TEMKINE
Tours de corps de classe de Hilbert pour les corps globaux et applications
(Hilbert class field towers for global fields and applications)
ATI  
17 janvier 2001
Virgile MOGBIL
Sémantique des phases, réseaux de preuve et divers problèmes de décision en logique linéaire
(Phase semantics, proof nets and some decision problems in linear logic)
LDP
5 avril 2001 Laetitia LADURELLI
Invariant de Casson et homologie d'intersection
(Casson invariant and intersection homology)
SGT  
7 juin 2001 Iman ISLIM
Sur les unités et les polyèdres de Klein en théorie algébrique des nombres
(Units and Klein polyhedra in algebraic number theory)
ATI  
4 juillet 2001 Sofiane SOUAIFI
Fonctions D(G/H)-finies sur un espace symétrique réductif
GNC  



FÉRARD Éric
(équipe ATI)

Titre : Poids des duaux des codes BCH et sommes exponentielles.

Directeur de thèse : François RODIER

Jury : Gilles Lachaud, Oscar Moreno, François Rodier, Gérard van der Geer, Serge Vladut, Jacques Wolfmann.

Date : 26 octobre 2000

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : L'étude de la distance minimale de certains codes correcteurs d'erreurs se situe dans le cadre de la théorie de l'information. Dans un premier temps, nous étudierons le poids du dual d'un code BCH binaire de longueur 2n-1 lorsque n est un entier impair. Dans ce cas, Serre, puis O. Moreno et C. Moreno ont amélioré la borne de Carlitz-Uchiyama. Nous montrerons que, sous certaines hypothèses, on peut obtenir un résultat encore meilleur. Nous étudierons ensuite les duaux des codes BCH de longueur pn - 1 et de distance prescrite pa0 quand n est pair. Nous verrons que la borne de Carlitz-Uchiyama n'est pas atteinte et nous en proposerons une amélioration. Nous en déduirons une majoration du nombre de points des courbes d'Artin-Schreier sur un corps fini et de certaines sommes exponentielles.

Mots-clés : codes BCH, sommes exponentielles, courbes d'Artin-Schreier, borne de Weil, borne de Carlitz-Uchiyama, variétés abéliennes.

Title : Weight of dual of BCH codes and exponential sums.

Abstract :
The study of minimal distance of error correcting codes is a part of information theory. First, we will study the minimum distance of the dual of a binary BCH code with lenght 2n-1 when n is an odd integer. In this case Serre, then O. Moreno and C. Moreno improved the Carlitz-Uchiyama bound. Under some hypothesis, we will show that we can obtain a better result. Then we will study the dual of BCH codes of length pn - 1 with designed distance pa0 when n is even. We will see that the Carlitz-Uchiyama bound is not reached and we will improve it. We will deduce a bound for the number of points of Artin-Schreier curves over a finite field and for some exponential sums.

Keywords :
BCH codes, exponential sums, Artin-Schreier curves, Weil bound, Carlitz-Uchiyama bound, abelian varieties.

Page personnelle (homepage) : http://www.upf.pf/presentation/enseignants.htm



BLACHE François-Régis

(équipe ATI)

Titre : Majorations de sommes exponentielles sur les anneaux de Galois.

Directeur de thèse :
Gilles LACHAUD

Jury :
Gilles Lachaud (DR CNRS IML), Winnie Li Wen-Ch'ing (Prof. Univ. Pennsylvanie), François Loeser (Prof. ENS), François Rodier (DR CNRS IML), Patrick Solé (DR ESSI), Mikhaïl Tsfasman (DR IPPI Moscou), Serge Vladut (Prof. Univ. Aix-Marseille II).

Date :
8 décembre 2000

Université d'inscription :
Aix-Marseille II

Spécialité :
Mathématiques.

Résumé :
On donne des majorations de sommes exponentielles pour certaines courbes projectives lisses définie sur un anneau de Galois. Certains résultats ont déjà été obtenus par Winnie Li, ainsi que par Kumar, Helleseth et Calderbank sur la droite projective, par Voloch et Walker sur des relèvements canoniques de courbes elliptiques. Dans ces travaux, les ensembles de sommation sont des sections de la projection de l'image par le foncteur de Greenberg de la courbe sur sa réduction modulo p. En genre supérieur, on n'a plus de telle section pour les courbes projectives. On surmonte cette difficulté en se restreignant à des ouverts affines : on peut alors définir des sections locales dont les images sont les sous-ensembles de Teichmüller. L'estimation d'une somme de caractères sur un tel sous-ensemble se ramène alors à l'estimation d'une somme de caractères sur la réduction modulo p de la courbe, associée à un vecteur de Witt de fonctions. Finalement, on obtient une majoration pour cette dernière somme en considérant l'extension d'Artin-Schreier-Witt associée à ce vecteur de Witt.

Mots-clés :
sommes exponentielles, courbes, foncteur de Greenberg, anneaux de Galois, recouvrements d'Artin-Schreier-Witt, anneaux de vecteurs de Witt.

Title :
Bounds for exponential sums over Galois rings.


Abstract :
We give bounds for exponential sums over certain smooth projective curves defined over a Galois ring. Such results have been obtained by Winnie Li, and Kumar, Helleseth, Calderbank over the projective line, and by Voloch and Walker over canonical liftings of elliptic curves. Here the summation subsets are sections of the projection of the Greenberg transform of the curve on its reduction modulo p. When the genus is greater, there is no more such section over the whole projective curve. We overcome this problem by restricting to affine open subschemes; over these, we find local sections whose images are the so-called Teichmüller subsets. Evaluating a character sum over such a Teichmüller subset now boils down to evaluate a character sum associated to a Witt vector of functions, over the reduction modulo p of the curve. Finally, we get bounds for the last sum, considering the Artin-Schreier-Witt covering of curves associated to this Witt vector.

Keywords :
exponential sums, curves, Greenberg transform, Galois rings, Artin-Schreier-Witt covering, Witt vector rings.



SIEGEL Anne

(équipe DAC)

Titre : Représentations géométrique, combinatoire et arithmétique des systèmes substitutifs de type Pisot

Directeur de thèse : Pierre ARNOUX

Jury : Pierre Arnoux, Jean Berstel, Valérie Berthé, Michel Dekking, Albert Fathi, François Parreau, Gérard Rauzy, Michel Waldschmidt.

Date :
12 décembre 2000

Université d'inscription :
Aix-Marseille II

Résumé :
On cherche à savoir si les systèmes dynamiques symboliques engendrés par une substitution de type Pisot sont des systèmes dynamiques standards ou totalement nouveaux, en déterminant lesquels sont isomorphes à une translation sur un groupe compact. On obtient une représentation combinatoire des systèmes substitutifs primitifs en montrant que chacun est isomorphe à une transformation adique sur le support d'un sous-shift de type fini défini naturellement à partir de la substitution. Cette représentation combinatoire permet d'exhiber un système de numération sous-jacent à la substitution et de représenter géométriquement les substitutions par une translation sur un tore. Ainsi, tout système substitutif de type Pisot admet pour facteur topologique une translation torique. Si la substitution est unimodulaire et vérifie une certaine condition combinatoire, cette représentation torique est la projection sur le tore d'une représentation dans l'espace euclidien par un échange de morceaux dans un compact auto-similaire appelé fractal de Rauzy de la substitution. Les propriétés du système de numération sous-jacent à la substitution permettent de donner une condition nécessaire et suffisante effective en terme d'automates pour que le fractal de Rauzy de la substitution engendre un pavage régulier de l'espace euclidien. Ceci produit une condition suffisante pour qu'un système substitutif de type Pisot soit isomorphe à une translation torique. Ceci permet de définir des partitions de Markov explicites pour une classe d'automorphismes du tore. Au sujet des systèmes non unimodulaires, on montre qu'une addition sur le groupe des entiers p-adiques est facteur d'un système substitutif dont la matrice d'incidence a un polynôme caractéristique irréductible si et seulement si cette matrice est nilpotente modulo p. Ceci laisse entrevoir la possibilité d'obtenir des partitions de Markov explicites pour l'extension naturelle d'une classe d'endomorphismes du tore.

Mots-clés :
système dynamique symbolique, substitution, transformation adique, facteurs équicontinus, fractal de Rauzy, pavage, partition de Markov, translation p-adique.

Title :
Geometric, combinatorial and arithmetric representations of substitution dynamical systems of Pisot.

Abstract :
The aim of this work is to determine whether symbolic dynamical systems generated by a substitution of Pisot type are or are not totally new dynamical systems, by looking for which of them are measure-theoretically isomorphic to a translation on a compact group. A combinatorial representation of a primitive substitutive dynamical system is obtained by constructing a natural and explicit isomorphism with an adic transformation on the support of a subshift of finite type. This combinatorial representation allows one to exhibit a numeration system linked with the substitution and to geometrically represent substitutive systems by a toral translation. Thus, every substitutive dynamical system of Pisot type admits as a topological factor a toral translation. If the substitution is unimodular and verifies a certain combinatorial condition, the toral representation is the projection onto the torus of an euclidean representation by an exchange of domains in a selfsimilar compact set called the Rauzy fractal of the substitution. The properties of the numeration system linked with the substitution allow one to give a necessary and sufficient condition for the Rauzy fractal of the substitution to generate a periodic tiling of the euclidean space. This condition is explicit in terms of graphs and produces a sufficient condition for a substitutive system of Pisot type to be isomorphic to a toral translation. This permits to construct explicit Markov partition for a class of toral automorphisms. For non-unimodular systems, it is proved that a translation on the group of p-adic integers is a factor of a dynamical system generated by a substitution the incidence matrix of which has an irreductible polynomial, if and only if this matrix is nilpotent modulo p. These results suggest that it will be possible to obtain explicit Markov partition for the natural extension of a class of toral endomorphisms.

Keywords : symbolic dynamical system, substitution, adic transformation, equicontinuous factor, Rauzy fractal, tilings, Markov partition, p-adic translation.


TEMKINE Alexandre

(équipe ATI)

Titre : Tours de corps de classe de Hilbert pour les corps globaux et applications.

Directeur de thèse : Gilles LACHAUD

Jury : Gilles Lachaud, Marc Perret, Heinz-Georg Quebbemann, René Schoof, Mikhaïl Tsfasman, Serge Vladut

Date :
15 décembre 2000

Université d'inscription :
Aix-Marseille II

Résumé : Au centre de cette thèse se trouve la notion de tour de corps de classes de Hilbert. Étant donné un corps global, c'est-à-dire soit un corps de nombres, soit un corps de fonctions à une variable sur un corps fini, et un ensemble fini de places contenant les places archimédiennes dans le cas des corps de nombres, on peut lui associer par la théorie du corps de classes de Hilbert, et par itération, une suite croissante pour l'inclusion de corps globaux. Sous une condition donnée par le Théorème de Golod-Shafarevich, cette suite est strictement croissante. Ce résultat bien connu a plusieurs applications : dans le cas des corps de fonctions, ou de manière équivalente des courbes algébriques sur les corps finis, il nous permet d'améliorer des minorations de A(q), paramètre qui mesure le nombre asymptotique maximal de points rationnels d'une telle courbe définie sur Fq. C'est l'objet des deux premières parties. Dans la troisième partie, nous utilisons ce théorème dans le cadre des corps de nombres pour prouver l'existence de familles asymptotiquement bonnes de réseaux unimodulaires. Enfin, l'objet de la quatrième partie est l'étude dans le cadre des corps de nombres du taux de décomposition des places dans les tours infinies de corps de classes de Hilbert.

Mots-clés :
corps de nombres, corps finis, points rationnels, corps de fonctions, corps de classes, réseaux.

Title :
Hilbert class field towers for global fields and applications.

Abstract :
Given a global field, i.e., a number field or a function field in one variable over a finite field, and a finite set of places including the infinite ones in the case of number fields, class field theory allows us to define its Hilbert class field. Iterating this process we obtain an increasing sequence of global fields. Under a condition given by the Golod-Shafarevich Theorem, the sequence is strictly increasing. This well-known result has several applications : in the function field case, it allows us to improve lower bounds for A(q), a number that measures the asymptotic maximal number of rational points of an algebraic curve defined over Fq. It is the aim of the first two parts. In the third part we use this theorem in the setting of number fields to prove the existence of asymptotically good families of unimodular lattices. The last part is devoted to the study of the rate of decomposition of places in infinite Hilbert class field towers of number fields.

Keywords : number fields,finite fields, rational points, function fields, class fields, lattices.

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MOGBIL Virgile

(équipe LDP)

Titre : Sémantique des phases, réseaux de preuve et divers problèmes de décision en logique linéaire.

Directeur de thèse :
Yves LAFONT

Jury :
D. Bechet, N. Creignou, P. De Groote, J.-Y. Girard, Y. Lafont.

Date :
17 janvier 2001

Université d'inscription :
Aix-Marseille II

Résumé :
La logique linéaire (LL) permet de prendre naturellement en compte la notion de ressource. Elle est ainsi très expressive : le plus petit fragment propositionnel est déjà NP-complet alors que le plus grand est indécidable car on peut y simuler les modèles de calculs usuels comme les machines à registres. La décidabilité du fragment multiplicatif exponentiel de LL (MELL) est un problème ouvert. Cette thèse établit la complétude de la sémantique des phases semi-linéaire pour le fragment de Horn de MELL. La prouvabilité dans ce dernier est équivalente à l'accessibilité dans les réseaux de Pétri. Ce résultat constitue une première étape vers l'éventuelle décidabilité de MELL (conjecture de Y.Lafont). Le chapitre suivant développe le codage du problème des circuits hamiltoniens où la notion de choix (qui est ici naturellement traduite par les connecteurs additifs) est gérée multiplicativement. Ce procédé pourrait être étendu à l'étude d'autres problèmes de théorie des graphes. On obtient ainsi une nouvelle preuve de la NP-complétude du fragment multiplicatif de la logique linéaire. C'est un travail réalisé en commun avec T.Krantz. Enfin, on donne un critère de correction quadratique pour les réseaux de preuves de la logique non-commutative de P.Ruet (qui contient la logique linéaire et la logique linéaire cyclique). Il permet de plus de traiter les réseaux de preuve avec coupures.

Mots-clés :
logique linéaire, complexité, sémantique des phases, réseaux de preuve, logique non-commutative, critère de correction, réseaux de Pétri.

Title :
Phase semantics, proof nets and some decision problems in linear logic.


Abstract :
linear logic (LL) is very expressive: the smallest propositonal fragment is already NP-complete and the whole logic is indecidable. One can simulate usual computational models as many counters machines. The decidability of the fragment multiplicative exponential LL (MELL) is an open problem. This thesis establishes a correctness result for semi-linear phase semantics from the proof of the decidability of the accessibility in Petri nets. Indeed, the provability in some Horn fragment of MELL corresponds to this decision problem in the Petri nets. This result is a first step towards the decidability of MELL fragment (Y.Lafont conjecture). The next chapter describes an encoding of the hamiltonian circuits problem into the multiplicative LL (MLL). In this graph-theoretical problem, the additive notion of choice is viewed multiplicatively. This procedure may be used for other combinatorial problems. We obtain a new proof of the NP-completeness of MLL. This is a joined work with T.Krantz. Finally we give a quadratic time correctness criterion for the proof nets of the non-commutative logic of P.Ruet. This logic contains LL and cyclic linear logic. Moreover we handle the case of proof nets with cuts.

Keywords :
linear logic, complexity, phase semantics, proof nets, non-commutative logic, correctness criterion, Petri nets.



LADURELLI Laetitia

(équipe SGT)

Titre : Invariant de Casson et homologie d'intersection.

Directeur de thèse :
Jean-Paul BRASSELET

Jury :
Karl-Heinz Fieseler (Prof. Univ. Uppsala), Claude Roger (Prof. Univ. Lyon I), J.-P. Brasselet (DR CNRS IML), Michel Domergue (Prof. Univ. Aix-Marseille I), Valentin Ovsienko (CR CNRS CPT), Anne Pichon (MC Univ. Aix-Marseille II).

Date :
5 avril 2001

Université d'inscription :
Aix-Marseille II

Résumé :
Ce travail traite de la possibilité d'exprimer l'invariant de Casson en termes d'homologie d'intersection. L'invariant de Casson est un invariant des 3-variétés fermées défini à l'aide de l'intersection de deux cycles dans un espace singulier. L'homologie d'intersection paraît donc l'outil adapté pour son étude, la première étape consistant à déterminer le link des singularités relativement à une stratification convenable de l'espace singulier. C'est ce qui justifie l'étude systématique des cônes tangents aux points singuliers faite dans la présente thèse. Les résultats de Goresky-MacPherson et de Kaup-Fieseler permettent de montrer que l'invariant de Casson ne peut être obtenu par application directe des calculs de l'homologie d'intersection. Par contre, dans le cas de la généralisation de l'invariant de Casson d'un noeud, les résultats de Frohman et Nicas montrent que cet invariant peut être déterminé à l'aide de l'homologie d'intersection d'espaces singuliers convenables.

Mots-clés :
invariant de Casson, link, cône tangent, stratification, représentations, perversité, produit d'intersection.

Title :
Casson invariant and intersection homology.

Abstract :
This work deals with the possibility to express the Casson invariant in terms of intersection homology. The Casson invariant is an invariant of closed 3-manifolds defined by the intersection of two cycles in a singular space. Intersection homology seems to be the right tool for its study, the first step consisting in the determination of the link of the singular points relatively a suitable stratification of the singular space. This point justifies the complete study of the tangent cones in the singular points. The results of Goresky-MacPherson and Kaup-Fieseler show that the Casson invariant cannot be obtained by a direct application of intersection homology. Nevertheless, the generalisation of the Casson invariant to the case of a knot made by Frohman and Nicas shows that this invariant can be determine using intersection homology of suitable singular spaces.

Keywords :
Casson invariant, link, tangent cone, stratification, representations, perversity, intersection product.



ISLIM Iman
(équipe ATI)

Titre : Sur les unités et les polyèdres de Klein en théorie algébrique des nombres.

Directeur de thèse :
Gilles LACHAUD

Jury :
Pierre Arnoux (Prof. Univ. Aix-Marseille II), Vincent Fleckinger (Prof. Univ. Franche-Comté), Yves Hellegouarch (Prof. émérite Univ. Caen), Gilles Lachaud (DR CNRS IML), Michel Laurent (DR CNRS IML), Stéphane Louboutin (Prof. Univ. Caen), Christian Mauduit (Prof. Univ. Aix-Marseille II).

Date :
7 juin 2001

Université d'inscription :
Aix-Marseille II

Résumé :
Dans cette thèse, nous traitons deux sujets différents de la théorie algébrique des nombres. Dans la première partie, nous étudions les voiles des polyèdres de Klein en dimension 4. La voile d'un cône simplicial de l'espace euclidien est la frontière de l'enveloppe convexe des points entiers de . L'algorithme des fractions continues détermine la voile d'un angle C. Le cas n = 3 a été étudié par Lachaud pour les cônes simpliciaux déployés sur les corps cubiques simples. Nous calculons ici la voile de tout cône simplicial déployé sur un corps biquadratique de la forme D et d sont deux entiers qui vérifient certaines hypothèses. La deuxième partie est consacrée à l'étude de la structure des groupes d'unités des corps réels abéliens de degré 8 sur . Nous donnons les systèmes fondamentaux d'unités des corps octiques de la forme K sont les corps simples de Gras et h > 1 est un entier impair.

Mots-clés :
polyèdre de Klein, cône déployé, voile, groupe des unités, corps biquadratiques, corps simples.

Title :
Units and Klein polyhedra in algebraic number theory.

Abstract :
In this thesis, we discuss two different subjects of the algebraic number theory. The sail V of a simplicial cone in the Euclidean space is the boundary of the convex hull of the integer points included in . In the first part, we calculate a fundamental domain, for the group of arithmetic automorphisms, of the sail of a split simplicial cone defined from the biquadratic fields where D andd are integers satisfying some hypotheses. In the second part, we exhibit the structure of the unit group of all the octic fields of the form , where K are the simplest quartic fields and h > 1 is an odd integer.

Keywords :
Klein polyhedra, split cone, sail, unit group, biquadratic fields, quartic fields.



Last update : march 13, 2007, EL.