HABILITATIONS
à diriger des recherches

Titre : Arithmétique des codes linéaires et des courbes algébriques.

Jury : Thierry Berger, Gilles Lachaud (Directeur), Carlos Moreno (Rapporteur), François Rodier, Patrick Solé (Rapporteur), Gerard van der Geer (Rapporteur), Serge Vladuts, Jacques Wolfmann.

Date : 31 janvier 2000

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : Les travaux de recherche présentés dans ce document ont trait à des problèmes dans les domaines de la théorie des codes correcteurs d'erreurs et de la cryptographie. Les techniques que nous appliquons pour les résoudre viennent des différents domaines des mathématiques, tels que l'algèbre, la géométrie, la théorie des nombres et la combinatoire. Après une brève motivation des problèmes de la théorie du codage, nous présentons dans la section suivante les notions importantes que nous utiliserons dans la suite de ce mémoire. A la fin du chapitre nous donnons une description des travaux présentés.
La théorie du codage est née du besoin de transmettre ou de stocker de façon fiable de l'information. Le travail sans doute le plus important est l'article "A mathematical theory of communication" de Claude Shannon, publié en 1948. Un certain taux d'erreurs dans une communication est inévitable, même avec les équipements les plus avancés. Pour atteindre une transmission fiable, il faut trouver un moyen de détecter et de corriger les erreurs dans la communication. Ceci est possible au prix d'une certaine redondance. A une suite de k bits d'information on rajoute n - k bits redondants, de telle sorte que deux suites de bits distinctes étendues de longueur n sont différentes en plusieurs positions. L'ensemble des suites étendues est appelé un code et les suites étendues les mots du code. Si les mots d'un code sont deux à deux différents en au moins d = 2t + 1 positions, une simple comparaison d'une suite reçue de t erreurs avec les mots du code donnera le mot correspondant à l'information transmise. Un exemple simple d'un code est donné par les deux mots 000 et 111, où un seul bit d'information est répété trois fois pour atteindre la distance 3.
Cependant, il n'est pas évident de trouver des bons codes, c'est-à-dire des codes avec un bon rapport entre k/n et d/n. En plus on demande que la correction d'erreurs à la réception, qu'on appelle aussi décodage, soit de complexité faible, une recherche exhaustive n'étant pas acceptable. Les solutions connues proposent toutes d'ajouter une structure supplémentaire au code. Les solutions les plus importantes sont obtenues avec les codes linéaires qui ont la structure d'un espace vectoriel. Nous les introduisons ici avec les constructions et les propriétés principales.

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Page personnelle : http://www.math.uiuc.edu/~duursma/

Titre : Dynamique des automates cellulaires unidimensionnels et complexité en dynamique topologique.

Jury : Pierre Arnoux, François Blanchard, Bernard Host, François Ledrappier, Servet Martínez, Gérard Rauzy.

Rapporteurs : François Ledrappier, Karl Petersen, Klaus Schmidt.

Date : 4 février 2000

Université d'inscription : Aix-Marseille II

Résumé : Les travaux présentés dans cette thèse d'habilitation concernent trois aspects de la dynamique topologique et de la théorie ergodique.
La première partie (articles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9), et la plus étendue, est une sélection d'articles sur la dynamique des automates cellulaires unidimensionnels. Les résultats les plus importants portent sur l'étude du comportement asymptotique des points et des mesures de probabilité sous l'action d'un automate cellulaire, et aussi sur la dynamique des automates cellulaires expansifs.
Le deuxième sujet concerne la dynamique topologique pure (articles 10 et 11). Le travail que nous présentons fait partie d'une suite d'articles qui visent à donner des notions de complexité issues du comportement des couples dans les systèmes dynamiques topologiques abstraits. L'étude utilise essentiellement les notions combinatoires liées à l'entropie topologique.
Finalement, dans la troisième partie, nous présentons deux articles en dynamique symbolique (articles 12 et 13). Le premier article introduit une nouvelle classe de systèmes symboliques qui utilise leur description en tant que langage formel. Cette notion permet de classifier les systèmes dynamiques associés aux substitutions et aussi les différents systèmes symboliques issus de la dynamique d'un automate cellulaire. Le deuxième article résout un problème de codage entre systèmes de type fini.

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Abstract : .

Page personnelle : http://www.dim.uchile.cl/~amaass/