Institut de Mathématiques de Luminy

SÉMINAIRES "ERNEST" 2013
Dynamique, Arithméthique et Combinatoire

Organisateurs :
Glenn Merlet, Pierre Guillon
Adresse électronique :
ernest@iml.univ-mrs.fr
Lieu :
Institut de Mathématiques de Luminy
Salle de séminaires
(3ème étage, salle 304-306)
horaire :
Le mardi à 11: 00
(sauf mention contraire...)

Historique

Nota : Nous allons déjeuner ensemble après le séminaire :
si vous voulez vous joindre à nous, envoyer un mail à ernest au plus tard le dimanche précédent.

Planning

Mike Hochman

mardi 3 décembre
au CIRM à 11h30

Mike Hochman
(Hebrew University, Jerusalem)
Dimension of self-similar measures
via additive combinatorics


Webpage: http://www.ma.huji.ac.il/~mhochman/

Abstract: I will discuss recent progress on understanding the dimension of self-similar sets and measures. The main conjecture in this field is that the only way that the dimension of such a fractal can be "non-full" is if the semigroup of contractions which define it is not free. The result I will discuss is that "non-full" dimension implies "almost non-freeness", in the sense that there are distinct words in the semigroup which are extremely close together (super-exponentially in their lengths). Applications include resolution of some conjectures of Furstenberg on the dimension of sumsets and, together with work of Shmerkin, progress on the absolute continuity of Bernoulli convolutions. The main new ingredient is a statement in additive combinatorics concerning the structure of measures whose entropy does not grow very much under convolution. If time....


Anna Frid

mardi 5 novembre
Anna Frid
(IML, Marseille)
Comptage des mots de rotation


Webpage: http://www.math.nsc.ru/~frid/

Résumé : Nous donnons une formule précise pour le nombre total des mots de rotation engendrés par deux intervalles. Une recherche détaillée des paires de mots sturmiens de même pente a été requise.
Travail effectué en collaboration avec Damien Jamet.


Timo Jolivet

mardi 29 octobre
Timo Jolivet
(LIAFA, Paris)
Fractals de Rauzy
avec groupe fondamental dénombrable


Webpage: http://www.liafa.univ-paris-diderot.fr/~jolivet/

Résumé : La topologie des fractals de Rauzy est riche, allant d'objets homéomorphes à un disque, jusqu'à d'autres, plus difficiles à décrire, avec un groupe fondamental non dénombrable (une "infinité de trous"). On s'intéresse à la situation intermédiaire : existe-t-il des fractals de Rauzy dont le groupe fondamental est non-trivial, mais dénombrable ?
On répondra positivement à la question par des constructions explicites. Pour cela, on décrira les liens entre un fractal de Rauzy et certaines opérations symboliques sur sa substitution associée. Les opérations en question sont les "symbol splittings" en dynamique symbolique et la conjugaison par des automorphismes du groupe libre.
Travail effectué en collaboration avec Benoît Loridant et Jun Luo.


Svetlana A. Puzynina

mardi 15 octobre
Svetlana A. Puzynina
(Univ. Turku & SIM, Novossibirsk)
Infinite self-shuffling words


Webpage: http://math.nsc.ru/~puzynina/

Abstract: In this talk we introduce and study a new property of infinite words: An infinite word x on an alphabet A is said to be self-shuffling if x admits factorizations: x=∏ᵢ₌₁^∞UᵢVᵢ=∏ᵢ₌₁^∞Uᵢ=∏ᵢ₌₁^∞Vᵢ with Uᵢ,Vᵢ∈A^*. In other words, there exists a shuffle of x with itself which reproduces x. We prove that many important and well-studied words are self-shuffling: This includes the Thue-Morse word and all Sturmian words (except those of the form aC where a ∈ {0,1} and C is a characteristic Sturmian word). We further establish a number of necessary conditions for a word to be self-shuffling, and show that certain other important words (including the paper-folding word and infinite Lyndon words) are not self-shuffling. One important feature of self-shuffling words is their morphic invariance: The morphic image of a self-shuffling word is again self-shuffling. This provides a useful tool for showing that one word is not the morphic image of another. In addition to its morphic invariance, this new notion has other unexpected applications: For instance, as a consequence of our characterization of self-shuffling Sturmian words, we recover a number-theoretic result, originally due to Yasutomi, on a classification of pure morphic Sturmian words in the orbit of the characteristic.


Sukumar Das Adhikari

mardi 8 octobre
Sukumar Das Adhikari
(Institut Harish Chandra Research, Allahabad)
A problem regarding visibility of integer lattice points
and related questions


Webpage: http://www.hri.res.in/~adhikari/

Abstract: Two integer lattice points A and B in the plane (similarly in higher dimensions) are said to be visible from each other if either A=B or the line segment which joins them contains no other lattice point between them. After a general discussion, we shall mainly consider a particular visibility problem in the plane.


Eric Olivier

mardi 18 juin
Éric Olivier
(TICE, Aix-Marseille Université)
Inhomogeneous matrix products and fractals


Webpage: http://cipe-tice.univ-amu.fr/lequipe/eric-olivier

Abstract: Each digit in a finite alphabet labels square column-allowable matrices having the same dimension and with non-negative entries; we make the forward inhomogeneous product of these matrices up to rank $n$, according to the $n$ first digits of a given one-sided sequence; then, the resulting matrix is multiplied by a fixed vector with positive entries. We are interested in the projective behavior of the sequence in the projective space.
Several applications are given, concerning the fractal geometry of sofic affine invariant sets, Infinite Convolved Bernoulli Measures, and the thermodynamic formalism of Gibbs measures.


Shrikrishna G. Dani

mardi 4 juin
Shrikrishna G. Dani
(IIT Bombay)
Large subsets of points with atypical behavior,
in number theory and dynamics


Webpage: http://www.math.tifr.res.in/~dani/

Abstract: The sets of points with certain kinds of atypical behavior, such as for example a number being badly approximable by rationals, higher dimensional analogue of the phenomenon, or analogues in the dual spaces of linear functionals, turn out to be large sets in certain ways, even though they are atypical in the sense that generically (with respect to the natural measures on the ambient space) the opposite condition holds. Similar situation is noted in geometrical and dynamical contexts.
We shall discuss the notions or largeness involved, involving certain games, and the large sets arising in different contexts.


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mardi 28 mai
Alexandra Skripchenko
(Post-doc, IMJ, Univ. Paris 7)
Orbit structure of system of isometries of thin type

Abstract: Systems of isometries is a natural generalization of interval exchange transformations and interval translation mappings.
With each system of isometry we can associate a foliated 2-complex called band complex; the same object often appears in geometric group theory in connection with resolving of real trees.
It was proved by E. Rips that any band complex belongs to one of 4 type (simplicial, toral, surface and thin). Thin type is the most generic minimal case.
In my talk I will discuss typical orbit structures of band complex of thin type.
I prove for several concrete examples that almost all orbits are quasi-isometric to trees with one topological ends.
I also provide the idea of construction of the example with opposite orbit structure: almost all orbits of the band complex are trees with 2 topological ends.
The talk is based on a very recent joint work with Ivan Dynnikov (Moscow State University).


Hong-Kun Zhang

mardi 21 mai
Hong-Kun Zhang
(University of Massachusetts Amherst)
Diffusive billiards


Webpage: https://www.math.umass.edu/~hongkun/

Abstract: I will first review the relation among diffusion processes, solutions of diffusion equations, and billiard systems, essentially though the Feynman–Kac formula. Major statistical properties for 2D hyperbolic systems have been well understood recently. Several categories of diffusive hyperbolic systems will be reviewed, which include classical billiards, billiards under random or deterministic perturbations, systems with micro-geometric structure; time-dependent billiards. If the system has a physically interesting steady state, then it belongs in the class of ergodic SRB measures and their modifications. Some Physical laws that are related to nonequilibrium billiards with physical origin will also be discussed.


Mathieu Hoyrup

mardi 14 mai
Mathieu Hoyrup
(LORIA Nancy)
Computability in ergodic theory


Webpage: http://www.loria.fr/~hoyrup/

Résumé : I will talk about the problem of forecasting the asymptotic statistical behavior of a dynamical system, from a computability perspective. I will review the state of the art concerning the computability of the speed of convergence of Birkhoff averages, the computability of the invariant measures, the computability of generic points. In particular I will present a recent result about the (non-)computability of the ergodic decomposition.


Anish Ghosh

mardi 30 avril
Anish Ghosh
(University of East Anglia, UK)
Diophantine approximation on varieties


Webpage: http://www.uea.ac.uk/~ngx08ybu/

Résumé : I will discuss the problem of Diophantine approximation on homogeneous varieties of semisimple algebraic groups. This forms part of a problem of shrinking targets for lattice actions.
Joint work with Alexander Gorodnik and Amos Nevo.


mardi 9 avril

Journée Théorie des Nombres

de 11h à 12h

Robert Tichy

Robert F. Tichy
(Technische Universität Graz, Austria) :
Uniform distribution of β-adic Halton sequences

Webpage : http://www.math.tugraz.at/~tichy/

Abstract: We investigate a parametric extension of the classical s-dimensional Halton sequence, where the bases are special Pisot numbers. In a one dimensional setting the arithmetic properties of such sequences have already been investigated by Barat, Grabner, Carbone and Ninomiya. We extend the result to the multivariate case, mainly by applying methods from ergodic theory (joint work with Markus Hofer and Maria Rita Iaco).

de 14h à 15h

Jean-Marc Deshouillers

Jean-Marc Deshouillers
(IMB, Bordeaux) :
Somme des chiffres et représentation de n! en base b

Webpage : http://www.math.u-bordeaux1.fr/imb/article43?uid=jmdeshou

Résumé : Plusieurs auteurs (Kakutani, Dekking...) ont remarqué que la suite qui associe à un entier positif n le chiffre non nul le plus à droite dans la représentation décimale usuelle de n! (on le note l₁₀(n!)) est 5-automatique. La clef en est le résultat de Legendre que la valuation p-adique de n! est (n-σ_p(n))/(p-1) où σ_p(n) est la somme des chiffres en base première p.
Nous nous intéressons à savoir ce qu'il en est dans une base quelconque, en commençant par détailler le cas b=12. On vérifie numériquement (cf. la suite A136698 de N. J. Sloane) que pour tout chiffre ε entre 1 et 11, il existe un entier n tel que l₁₂(n!)=ε. On présentera un travail effectué en commun avec Imre Ruzsa où l'on montre que les chiffres 4 et 8 se présentent chacun avec la densité ½ dans la suite (l₁₂(n!))ₙ. On s'intéressera également aux autres chiffres en base 12 et aux autres bases.


Ludovic Delabarre

mardi 2 avril
Ludovic Delabarre
(ICJ, Lyon)
Frontière naturelle de méromorphie
de plusieurs classes de fonctions ζ


Webpage: http://dossier.univ-st-etienne.fr/

Résumé : Je présenterai un résultat sur le domaine de méromorphie maximal de produits eulériens uniformes de plusieurs variables de type Π_{p premier}h(p^{-s_1},…,p^{-s_n}), (n>1) avec h∈Z[X_1,…,X_n]. Ce résultat est très proche de la généralisation dans le cadre de plusieurs variables du célèbre résultat d'Estermann qui affirme qu'un produit Π_{p}h(p^{-s}) associé à un polynôme h se prolonge à tout le plan complexe si et seulement si h est cyclotomique et que sinon l'axe imaginaire est une frontière naturelle de méromorphie.
Après une brève introduction sur les fonctions ζ de groupes et d'anneaux et sur les fonctions ζ de variétés toriques projectives, j'expliquerai en quoi le résultat précédent fournit des informations intéressantes quant à la compréhension du comportement analytique de ces fonctions ζ. Je présenterai deux applications concrètes: la première concerne la frontière naturelle de méromorphie d'une famille de produits eulériens associés à des variétés toriques projectives et la deuxième est la réponse à une question posée par N. Kurokawa et H. Ochiai sur la frontière naturelle de méromorphie d'une fonction ζ d'Igusa de plusieurs variables.


Juanjo Rué

mardi 19 mars
Juanjo Rué
(CSIC Madrid)
Threshold functions for systems of equations
on random sets


Webpage: http://www-ma2.upc.edu/jrue/index.html

Abstract: We present a unified framework to deal with threshold functions for the existence of certain combinatorial structures in random sets. More precisely, let Mx = 0 be a linear system of r equations and m variables, and A a random set on [n] where each element is chosen independently with the same probability. We show that, under certain conditions, there exists a threshold function for the property "A^m contains a non-trivial solution of Mx = 0", depending only on r and m and, furthermore, we study the behavior of the limiting probability in the threshold scale in terms of volumes of certain convex polytopes arising from the linear system under study. Our results cover several combinatorial families, namely sets without arithmetic progressions of given length, k-sum-free sets, B_h[g] sequences and sets without Hilbert cubes of dimension k, among others.
The techniques used in this approach combines the so-called Probabilistic Method, widely used in discrete mathematics, joint with lattice point estimates coming from Ehrhart's Theory on polytopes.
If time permits, further extensions and on-going projects in this direction will be also discussed.
This is a joint work with Ana Zumalacárregui. The preprint is available on-line.


Hebrew University Logo

mardi 12 mars
Pascal Vanier
(Université Hébraïque, Jérusalem)
Caractérisations des ensembles de périodes
des sous-shifts multidimensionnels


Webpage: http://www.lif.univ-mrs.fr/~pvanier/?q=accueil

Résumé : Nous allons dans cet exposé introduire plusieurs notions de périodicité pour les sous-shifts multidimensionnels et en donner des caractérisations calculatoires. Une des notions que nous allons étudier est lorsqu'un point a une orbite finie, la notion la plus proche de la périodicité en dimension 1. Nous allons montrer que les ensembles de périodes des SFTs multidimensionnels correspondent exactement aux ensembles de la classe NE (reconnaissables en temps non-déterministe exponentiel linéaire), nous allons également caractériser le nombre de points périodiques. Pour arriver à cette caractérisation nous nous intéresserons dans un premier temps à une notion particulière de la périodicité, la périodicité horizontale.


Alexis Ballier

mardi 5 mars
Alexis Ballier
(CMM, Université du Chili)
Caractérisation de certains ensembles limite
d'automates cellulaires stables


Webpage: http://www.cmm.uchile.cl/index.php

Résumé : Tous les automates cellulaires stables que nous sachions construire ont un ensemble limite (nécessairement sofique) factorisant sur sa couverture minimale par une application "right-closing almost-everywhere". Nous montrerons que ceci caractérise les ensembles limites atteints par des automates ayant une dynamique "right-closing almost-everywhere" sur leur ensemble limite.
Nous montrerons aussi que les sofiques, vérifiant les conditions nécessaires triviales pour que ça soit possible, factorisant sur leur couverture minimale correspondent aux ensembles limites d'automates cellulaires ayant une propriété supplémentaire que nous appelons "right-continuing almost-everywhere".
La question de savoir si tout ensemble limite d'automate cellulaire stable peut être atteint par un automate "right-continuing almost-everywhere" reste ouverte.


Alexander Bufetov

mardi 19 février
Alexander Bufetov
(LATP, Marseille)
Entropie des diagrammes de Young
et des matrices aléatoires


CV: http://iitp.ru/upload/content/277/bufetovCV.pdf

Résumé : Nous commencerons par la conjecture de Vershik et Kerov de 1985 sur l'entropie de la mesure de Plancherel sur l'espace des diagrammes de Young, et nous poursuivrons vers le théorème de Shannon-McMillan-Breiman pour les β-ensembles des matrices aléatoires. Les deux parties sont basées respectivement sur les deux articles suivants :
GAFA --- Vol22-4 (2012), 938-975
On the Vershik-Kerov conjecture concerning the Shannon-McMillan-Breiman theorem for the Plancherel family of measures of the space of Young diagrams. Alexander I. Bufetov.
arXiv:1301.0342
Entropy and the Shannon-McMillan-Breiman theorem for beta random matrix ensembles.
Alexander Bufetov, Sevak Mkrtchyan, Maria Shcherbina, Alexander Soshnikov.


Joël Rivat

mardi 12 février
Joël Rivat
(IML, Marseille)
Les nombres premiers et leurs chiffres


Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/~rivat/

Résumé : Avec Christian Mauduit, nous avons apporté une réponse à une question de Gelfond en 1968 en montrant que la somme des chiffres des nombres premiers p écrits en base q≥2 est équirépartie dans les progressions arithmétiques. Nous présenterons dans cet exposé les méthodes qui ont permis d'aboutir à ces résultats ainsi que quelques extensions obtenues en collaboration avec Michael Drmota et Bruno Martin.


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mardi 5 février
Meng Wu
(LAMFA, Amiens)
Multifractal analysis of some multiple ergodic averages


Webpage: http://www.lamfa.u-picardie.fr/admin/descriptionid.phtml?NId=152

Abstract: In this paper we study the multiple ergodic averages $$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \varphi(x_k, x_{kq}, ..., x_{k q^{\ell-1}}), \qquad (x_n) \in \Sigma_m $$ on the symbolic space $\Sigma_m ={0, 1, ..., m-1}^{\mathbb{N}^*}$ where $m\ge 2, \ell\ge 2, q\ge 2$ are integers. We give a complete solution to the problem of multifractal analysis of the limit of the above multiple ergodic averages. Actually we develop a non-invariant and non-linear version of thermodynamic formalism that is of its own interest. We study a large class of measures (called telescopic measures) and the special case of telescopic measures defined by the fixed points of some non-linear transfer operators plays a crucial role in studying our multiplicatively invariant sets. These measures share many properties with Gibbs measures in the classical thermodynamic formalism. Our work also concerns with variational principle, pressure function and Legendre transform in this new setting. Article


Mark Pollicott

mardi 29 janvier
Mark Pollicott
(University of Warwick, UK)
Exponential mixing for geodesic flows
and Gibbs measures


Webpage: http://homepages.warwick.ac.uk/~masdbl/

Abstract: The geodesic flow on a compact manifold of negative curvature is a canonical example in Ergodic Theory; and (strong) mixing a natural property. Dolgopyat and Liverani established that for the Liouville measure and smooth test functions the mixing took place at an exponential rate. We discuss the situation for more general Gibbs measure, including the particular case of the Bowen-Margulis where the results have implications for geometric counting results.


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mardi 22 janvier
Jonathan Cabrol
(LATP, Marseille)
Origamis infinis


Webpage: http://www.latp.univ-mrs.fr/spip.php?article80

Résumé : Après avoir défini les origamis finis et énoncé les résultats classiques les concernant, je définirai les origamis infinis. Je m'attacherai alors à l'étude de deux notions, le groupe de Veech et la récurrence du flot linéaire, sur quelques exemples d'origamis infinis.


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mardi 8 janvier
Rodrigo Lambert
(Univ. São Paulo, Brésil)
The distribution of the short-return function


Webpage: http://www.numec.prp.usp.br/

Résumé : We consider the first return of a sequence x₀ⁿ⁻¹ to itself Tn(x₀ⁿ⁻¹). Namely:
Tn(x₀ⁿ⁻¹) = inf i ≥ 1 : x₀ⁿ⁻ⁱ⁻¹ = xᵢⁿ⁻¹, and if such i does not exist, we say that Tn(x₀ⁿ⁻¹) = n.
By [2,3], it is known that, for ergodic processes with positive entropy, Tn/n converges to 1 almost surely. Large deviations are also known [1].
We study the fluctuations of Tn. For product measures over countable alphabet we prove the convergence in distribution of Tn, properly re-scaled, to a non-degenerated distribution. We also show that the re-scaled factor behaves as follows: expectation of Tn is about n minus a positive constant and the variance is about a constant.
As an application, we compute bounds and limiting values of the proportion of self-avoiding sequences.
[1] M.Abadi and S.Vaienti, Large deviations for short recurrence, Disc. Cont. Dyn. Syst. 21 (2008), n°3, 729-747.
[2] V.Afraimovitch, J.-R.Chazottes and B.Saussol, Pointwise dimensions for Poincaré recurrence associated with maps and special flows, Disc. Cont. Dyn. Syst. 9 (2003), n°2, 263-280.
[3] B.Saussol, S.Troubetzkoy and S.Vaienti, Recurrence, dimensions and Lyapunov exponents, J. Stat. Phys. 106 (2002), 623-634.



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EL, le 18 novembre 2013