Institut de Mathématiques de Luminy

SÉMINAIRES "ERNEST" 2009
Dynamique, Arithméthique et Combinatoire

Organisateurs :
Joël Rivat, Serge Troubetzkoy
Adresse électronique :
ernest@iml.univ-mrs.fr
Lieu :
Institut de Mathématiques de Luminy
Salle de séminaires
(3ème étage, salle 304-306)
horaire :
Le mardi à 11: 00
(sauf mention contraire...)

Nota : Nous allons déjeuner ensemble après le séminaire :
si vous voulez vous joindre à nous, envoyer un mail à ernest au plus tard la veille.

Planning

mardi 8 décembre
Vincent Delecroix
(IML, Marseille) :
Titre à préciser

Page web : http://iml.univ-mrs.fr/~delecroi/

Résumé : Les classes de Rauzy de permutations sont apparues en même temps que l'induction du même nom sur les échanges d'intervalles.
Cet exposé sera l'occasion d'utiliser des techniques géométriques (surface de translation) pour effectuer le dénombrement de ces classes.

Jose_Ferreira_Alves
mardi 1er décembre

José Ferreira Alves
(Universidade do Porto, Portugal) :
From mixing rates to recurrence times

Homepage: http://www.fc.up.pt/pessoas/jfalves/

Abstract: Young towers are known to be one of the most efficient tools for studying the mixing rates of certain classes of dynamical systems: if the system admits an inducing scheme whose tail of recurrence times decays at a given speed, then the system admits an SRB measure with essentially the same mixing rates. In this seminar we shall consider the inverse problem. Assume a given system has an SRB measure with a certain mixing rate. Under which conditions does this measure come from an inducing scheme with essentially the same tail of recurrence times?

mardi 24 novembre
Thomas Stoll
(IML, Marseille) :
Sur un problème de Stolarsky :
la somme des chiffres de $n$ et $n^h$

Page web : http://www.cs.uwaterloo.ca/~tstoll//

Résumé : L'objet de cet exposé est de répondre une question posée par K.Stolarsky en 1978 en montrant que la somme des chiffres $s_q$ (les chiffres écrits en base $q \geq 2$) satisfait $$\liminf_{n\to \infty} \frac{s_q(p(n))}{s_q(n)}=0,$$ ou $p(n)=a_h n^h+a_{h-1} n^{h-1}+\cdots+a_0 \in \mathbb{Z}[n]$, $a_h>0$ et $h\geq 2$. On donnera une preuve élémentaire de ce théorème et en déduira plusieurs conséquences remarquables.

mardi 10 novembre
Philippe Marie
(CPT, Marseille) :
Systèmes dynamiques aléatoires :
récurrence et attracteurs

Page web : http://www.cpt.univ-mrs.fr/~marie/

Résumé : J'introduirai tout d'abord brièvement le concept de système dynamique aléatoire, puis je présenterai en quelques mots le problème de la récurrence dans de tels systèmes. Enfin je parlerai plus en détail d'un travail consistant à caractériser les mesures stationnaires dans les systèmes aléatoires modélisant une petite perturbation stochastique d'un système donné, en utilisant une définition des attracteurs introduite par Ruelle dans les années 80.

mardi 27 octobre
Fabien Durand
(LAMFA, Amiens) :
Dynamique polynomiale dans les entiers p-adiques

Page web : http://www.lamfa.u-picardie.fr/fdurand/

mardi 20 octobre
Bernard Host
(LAMA, Univ. Marne-la-Vallée) :
Seminormes d'uniformité sur $l^{\infty}$
Page web : http://iuf.amue.fr/author/bhost/

mardi 13 octobre
Thomas Fernique
(LIF, Marseille) :
Stochastic flips on two-letter words

Page web : http://www.lif.univ-mrs.fr/~fernique/

Abstract: We introduce a simple stochastic process inspired by the problem of quasicrystal growth. The process acts over two-letter words by randomly performing one flip at once which exchanges two consecutive different letters. More precisely, a flip is allowed only if, locally, it does not increase the number of pair of consecutive identical letters. We show that this process converges towards words which, globally, do not have pairs of consecutive identical letters. The main result is that the expected number of flips to converge is at most cubic in the length of the initial word. We also consider the case of random initial words.

mardi 22 septembre
Mariusz Lemanczyk
(Copernicus Univ. Torun, Pologne) :
On Besicovitch's problem for cylindical transformations

Résumé : On considère des transformations cylindriques (*) (x,t)\mapsto (x+\alpha,f(x)+t) sur \T\times\R, où \alpha est irrationnelle et f est continue, \int f=0. On va présenter une motivation pour étudier ce genre de transformations (Poincaré).
La transformation (*) n'est JAMAIS minimale (Besicovitch), de l'autre côté, sauf la situation triviale, où f est un cobord, (*) est transitive. On va discuter le problème de l'existence d'un sous-système minimal (en pleine généralité, ce problème est toujours ouvert). Si f est à variation bornée, il n'y a pas de sous-systèmes minimaux, mais Bescovitch a construit \alpha et f continue tels que (*) ait une orbite discrète. On va présenter de nouvelles constructions de f qui donnent des orbites discrètes pour \alpha quelconque et on va discuter la dimension de Hausdorff d'un ensemble associé à ce phénomène (il y a une condition diophantienne sur \alpha).

mercredi 8 juillet
à  11h
Anthony Quas
(Univ. Victoria, Canada) :
Empirical reconstruction of rotation numbers

Homepage: http://www.math.uvic.ca/faculty/aquas/

mardi 16 juin
Katalin Gyarmati
(Eötvös Loránd University, Budapest) :
Concatenation of pseudorandom binary sequences

Homepage: http://www.cs.elte.hu/~gykati/

mardi 9 juin
Anna Frid
(Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk) :
Infinite permutations of lowest maximal
pattern complexity

mardi 26 mai
salle de séminaires, à 11h
Harald Niederreiter
(Univ. Singapour) :
La discrépance de suites mixtes

amphi Herbrand, à 14h
Jozef Bobok
(Univ. Prague) :
Infinite dimensional Banach space
of Besicovich functions

Résumé : We construct an infinite dimensional Banach space of Besicovitch functions, i.e. functions without finite or infinite uniletaral derivatives. The proof uses Toeplitz sequences.

mardi 28 avril
Geneviève Paquin
(LAMA, Univ. Savoie) :
Conjecture de Fraenkel et développements
récents en combinatoire des mots

Résumé : La conjecture de Frankel a d'abord été introduite en théorie des nombres, il y a de cela plus de 30 ans. Cette conjecture énonce que pour un entier k>2 fixe, il existe une unique facon de couvrir les entiers par k suites de Beatty ayant des fréquences de lettres différentes. Ce problème peut être facilement traduit en terme de combinatoire des mots de la facon suivante: pour un alphabet à k lettres, il existe une unique suite équilibrée (à permutation des lettres et à conjugaison près) ayant des fréquences de lettres toutes différentes. Ces suites sont de la forme (Fr_k)^omega, avec Fr_k=Fr_{k-1}kFr_{k-1} et Fr_3=1213121. La conjecture a déjà été prouvée pour k=3,4,5,6, 7 par Altman, Gaujal, Hordijk, Tijdeman, Barat, Varju, mais aucune preuve générale n'a encore été trouvée.
Dans cet exposé, après avoir présenté une caractérisation récente des suites épisturmiennes équilibrées prouvant un cas particulier de la conjecture, je montrerai comment différents récents travaux en combinatoire des mots fournissent des approches prometteuses de la conjecture de Fraenkel.

mardi 14 avril
Arnaldo Nogueira
(IML) :
La distribution des orbites du réseau dans le plan réel

Résumé : Nous allons discuter la distribution de l’orbite d’un vecteur par l’action linéaire de SL(2,Z) sur R2 . Soient R2 et v ∈ R2. Soit N (k,v) le nombre des matrices γ ∈ SL(2,Z) telles que γ v ∈ et ||γ || ≤ k, où k = 1, 2, ... Nous sommes intéressés aux valeurs de N(k,v) quand k → ∞. Notre approche pour traiter cette question fait appel aux fractions de Farey que nous ramène à un problème sur les approximations diophantiennes. Nous rappelons que le comportement asymptotique de N(k,v) est aussi obtenu en utilisant les propriétés ergodiques du flot horocyclique.

mardi 14 avril
Arnaldo Nogueira
(IML) :
La distribution des orbites du réseau dans le plan réel

Résumé : Nous allons discuter la distribution de l’orbite d’un vecteur par l’action linéaire de SL(2,Z) sur R2 . Soient R2 et v ∈ R2. Soit N (k,v) le nombre des matrices γ ∈ SL(2,Z) telles que γ v ∈ et ||γ || ≤ k, où k = 1, 2, ... Nous sommes intéressés aux valeurs de N(k,v) quand k → ∞. Notre approche pour traiter cette question fait appel aux fractions de Farey que nous ramène à un problème sur les approximations diophantiennes. Nous rappelons que le comportement asymptotique de N(k,v) est aussi obtenu en utilisant les propriétés ergodiques du flot horocyclique.

mardi 7 avril
Antonin Guilloux
(ENS Lyon) :
Autour des orbites d'un réseau dans le plan

Résumé : La distribution des orbites d'un point du plan sous l'action des matrices de SL(2,Z) peut-être vue comme une manifestation concrète d'un phénomène de rigidité pour un problème dual : la distribution des orbites du groupe unipotent dans le quotient SL(2,R)/SL(2,Z). Le théorème de Ratner et ses avatars sont des outils puissants pour étudier ce deuxième problème ; en particulier, Ledrappier a expliqué comment les utiliser pour décrire les orbites dans le plan.
A partir de la présentation de ces idées, j'exposerai des généralisations possibles dans d'autres espaces homogènes (avec en tête des applications arithmétiques), ainsi que des liens possibles avec l'approximation diophantienne. Des liens entre ces orbites et l'approximation diophantienne sont par ailleurs explicités par Nogueira.

mardi 31 mars
dans le kiosque en haut de la Canebière
Matheus Santos
(Collège de France) :
L'action du groupe des difféomorphismes affines
dans la cohomologie relative de deux origamis spéciaux

Résumé : D'après les travaux de Forni, Avila, Viana, la théorie ergodique des points génériques pour la mesure de Lebesgue du flot géodésique de Teichmuller est bien connue. En revanche, Veech a posé la question: que peut-on dire sur les points non-génériques? D'après le travail de Forni (2005), Forni et moi-même (2008), on a la réponse partielle suivante: il existe deux surfaces à petits carreaux en genre 3 et 4 tel que le spectre de Lyaponov est très dégénèré.
Dans cet exposé, je parlerai d'un travail en collaboration avec JC Yoccoz sur l'action du groupe des difféomorphismes affines des origamis obtenu par Forni et moi.

mardi 17 mars
exceptionnellement sur le Cours Julien
Thierry Coulbois
(LATP, Marseille) :
Induction de Rips pour les translations d'intervalles

Résumé : J'expliquerai comment la célèbre machine de Rips construite pour analyser les actions du groupe libre sur les arbres réels peut-être vue comme une induction pour les systèmes d'isométries. Je ne détaillerai que des exemples de systèmes d'isométries qui sont des translations d'intervalles et je ferai le parallèle avec l'induction de Rauzy pour les échanges d'intervalles. Je m'attacherai surtout à l'aspect combinatoire de cette induction (et de toutes façons nous n'avons à proposer qui pourrait ressembler au flot de Teichmuller).

mardi 10 mars
Cristobal Rojas
(IML) :
Aléatoire algorithmique et théorie ergodique effective

Résumé : La théorie de l'aléatoire algorithmique de Martin-Loef (née dans les années 1960) a été le premier pas dans le programme proposé par Kolmogorov pour baser la théorie des probabilités sur celle du calcul.
Depuis, une série de résultats établis pour les suites binaires ont montré que la théorie du calcul peut, en effet, "enrichir" les résultats probabilistes. Dans le but de systématiser cette approche et de la rendre applicable dans un plus grand nombre de situations, nous travaillons pour développer un cadre général permettant la combinaison de ces deux théories : proba/mesure et calculabilité. Dans cet exposé, je présenterai quelques progrès récents, ainsi que quelques applications à la convergence des variables aléatoires. Nous verrons en particulier, des versions effectives de la loi forte des grands nombres et du théorème ergodique.

mardi 3 mars
Juhani Karhumaki
(Turku) :
Reachability via cooperating morphisms

Abstract: The goal of this presentation is to analyze the equality mechanism of cooperating morphisms of free monoids, and to point out that the reachability questions lead to the undecidability and easy characterizations of recursively enumerable languages. In particular, we aim to show, what subconstructions are needed in such results. Moreover, we recall that in some cases the undecidability of the reachability is achieved although the sets of all reachable objects are simple, or more formally, regular languages.

mardi 10 février
Samuel Lelièvre
(Orsay) :
Surfaces à petits carreaux, comptages, entiers de Gauss

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai des résultats de comptages de surfaces à petits carreaux en genre deux avec un point d'angle trois tours, obtenus avec Pascal Hubert et avec Emmanuel Royer, et une conjecture pour un comptage de celles de ces surfaces qui ont une symétrie de rotation d'un quart de tour. Cette conjecture aurait pour corollaire une formule pour le genre des orbites sous l'action de SL(2,R) de ces surfaces. La formule conjecturée semble inviter à utiliser les entiers de Gauss.

mardi 3 février
Pascal Hubert
(LATP, Marseille) :
Surfaces à petits carreaux infinis

mardi 6 janvier
Glenn Merlet
(IML) :
Semigroupes d'applications max-plus projectives

Résumé : L'ensemble $\mathbb{R}\cup-\infty$ muni des opérations max (pensé comme addition) et + (comme multiplication) forme un semi-corps commutatif. Les matrices carres a coefficients dans cet ensemble permettent donc de définir des applications linéaires par rapport aux opérations max et +, mais aussi des applications sur un espace projectif associé. Ces applications interviennent dans la modélisation de certains systèmes de production et réseaux de communication. Elles sont aussi un des objets d'étude de ce qu'on appelle géométrie tropicale et liées aux mesures de Gibbs à température nulle.
Dans cet exposé, j'introduirai ces objets, qui sont en fait très simples : l'espace projectif peut être vu comme un espace euclidien et les applications sont affines par morceaux et non dilatantes.
Je présenterai ensuite la théorie asymptotique de ces applications, qui présente de fortes analogies avec celles des matrices à coefficients positifs, et un résultat récent sur l'orbite des semigroupes d'applications projectives. S'il reste du temps, je montrerai comment ce résultat permet d'obtenir des théorèmes limites pour les iteres d'un application max-plus linéaire aléatoire.

Liste des séminaires de l'année ...
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EL, le 3 décembre 2009