Institut de Mathématiques de Luminy

SÉMINAIRES 2013
Arithmétique et Théorie de l'Information

Responsable: David Kohel
Horaires: Le jeudi à 11h
Salle: Amphi Herbrand du 1er étage, salle 130-134, I.M.L., Groupe des Laboratoires de Luminy (CNRS).

Planning

jeudi 12 décembre

LOGO IML

Samrith Ram
(IML, Marseille)
Enumeration of block companion Singer cycles

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/ati/listeati.html

Abstract: We discuss the enumeration of nonsingular matrices over a finite field that are block companion and whose order is the maximum possible in the corresponding general linear group. The problem is essentially equivalent to counting the number of so-called primitive 'word-oriented' linear feedback shift registers($\sigma$-LFSR). A connection with an older problem of Niederreiter about the number of splitting subspaces of a given dimension is outlined. A special case of the problem is equivalent to finding the probability that a pair of polynomials of given degree with coefficients in a finite field is coprime. We also discuss the enumeration of a subclass of $\sigma$-LFSRs called Transformation Shift Registers (TSR)


jeudi 5 décembre

Élodie Leducq

Élodie Leducq
(IMJ, Paris 7)
Mots de petits poids des codes
de Reed-Muller généralisés

Publications: http://www.informatik.uni-trier.de/~ley/pers/hd/l/Leducq:Elodie

Résumé : Des résultats de Rolland, Geil, Erckson et Bruen ont permis de déterminer le second poids des codes de Reed-Muller généralisés. Dans cet exposé, on se propose de donner les mots de code qui atteignent ce second poids. En utilisant des arguments de géométrie affine, on démontre que les supports des mots de second poids sont des unions de sous-espaces affines de Fq^m.


jeudi 14 novembre

Michel Laurent

Michel Laurent
(IML, Marseille)
Approximation diophantienne par des points primitifs

Publications: http://iml.univ-mrs.fr/editions/biblio/bib-laurent.html

Résumé : Un point entier est dit primitif lorsque ses coordonnées sont premières entre elles. On partira du théorème de densité de Kronecker qui affirme l'existence de points entiers satisfaisant certaines propriétés d'approximation avec pour but d'ajouter la propriété que ces points sont primitifs. On s'intéresse à des aspects effectifs et on décrira quelques résultats dans cette direction avec notamment une extension récente du théorème métrique de Khintchine-Groshev.


jeudi 7 novembre

David Kohel

David Kohel
(IML, Marseille)
Optimal doubling on elliptic curves

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/~kohel/

Abstract: For efficient scalar multiplication (for cryptographic applications or in the elliptic curve factorization method) based on binary windowing methods, the asymptotically dominant operation is doubling. We describe the construction of an optimal doubling algorithm improving on previously best known algorithms applicable to Edwards curves.


jeudi 26 septembre

à 11h
Everett Howe

Everett Howe
(CCR San Diego) :
The number of nonsimple principally polarized
abelian surfaces over a finite field

Webpage : http://alumnus.caltech.edu/~however/

Abstract: There are approximately 2q^3 principally polarized abelian surfaces over the finite field F_q. We show that up to explicit factors of log q, there are about q^2.5 nonsimple principally polarized surfaces. This is joint work with Jeff Achter.

à 14h
Jeroen Sijsling

Jeroen Sijsling
(University of Warwick) :
Galois descent for algebraic curves
Let L | k be an extension of fields

Webpage : https://sites.google.com/site/sijsling/

Abstract: Let C be an algebraic curve over L , defined as the zero locus of a set of polynomials { f_1, ... , f_n } . Suppose that for all automorphisms sigma of L fixing k , the conjugate curve C^sigma (which is simply the zero locus of the conjugated set of polynomials { f_1^{sigma} , ... , f_n^{sigma} } ) is isomorphic over L with C . Does there then exist a curve C_0 over k that becomes isomorphic with C over L ? Contrary to what one may intuitively expect, the answer to this question is usually not affirmative.
The obstruction is a cohomological one, but it is a challenge to make it explicit and amenable to computation. We explore what happens in progressively more complicated situations, from conics to elliptic curves to hyperelliptic curves and finally to plane quartics.
This is joint work with Reynald Lercier and Christophe Ritzenthaler.


jeudi 30 mai

logo LATP

Marc Olive
(LATP, Marseille)
L'algorithme de Gordan
Invariants et covariants des formes binaires

Webpage: http://www.latp.univ-mrs.fr/

Résumé : En 1890, David Hilbert sembla clore une question mathématique qui occupa un nombre importants de mathématicien(ne)s du 19ième : la question de la finitude de l'algèbre des covariants des formes binaires. Mieux que cela : il obtint une preuve valable dans un cadre encore plus général que celui des formes binaires. Avant lui, Gordan (1968) avait obtenu une preuve dans le seul cas des formes binaires, laquelle preuve étant présentée sous forme d'algorithme.
Très récemment (depuis une quinzaine d'années environ), la question du calcul effectif d'une base de covariants a été remis au goût du jour dans des domaines très variés, à la fois purs et appliqués : mécanique des milieux continus, mécanique quantique, courbes hyperelliptiques. Face à cette question, il apparaît alors une différence notable entre l'approche de Hilbert et celle de Gordan, cette dernière ayant été la plus efficace pour les mathématicien(ne)s du 19ième.
Nous proposerons donc de présenter l'algorithme de Gordan permettant d'obtenir en un moindre coût les bases de covariants des formes binaires.


jeudi 2 mai

Michele Bolognesi

Michele Bolognesi
(Université de Rennes 1)
Surfaces de Weddle et leurs espaces de modules

Webpage: http://blogperso.univ-rennes1.fr/michele.bolognesi/

Résumé : La surface de Weddle est une surface quartique avec 6 nœuds qui est un modèle birationnel de la surface d Kummer.
Dans cette exposé je vais décrire l'espace de modules qui paramètre telles surfaces, notamment l'espace de modules A_2(3)^- des surfaces abéliennes principalement polarisées avec une structure de niveaux 3 et une thêta caractéristique impaire. Ceci est l'analogue impaire de l'espace A_2(3,6) et il sera construit via des fonctions thêta-constantes.
Ensuite, en utilisant une construction de Coble on montrera que A_2(3)^- rationnel..


jeudi 4 avril


Alain Couvreur
(LIX, École Polytechnique, Palaiseau)
Codes et opérateur de Cartier

Webpage: http://www.lix.polytechnique.fr/~alain.couvreur/

Résumé : La construction de codes à partir de courbes algébriques proposée par Goppa en 1981 fournit des familles de codes aux paramètres remarquablement bons. Toutefois, lorsque le corps de base est petit - par exemple sur F_2 - il est difficile de mettre en évidence de bons codes géométriques.
Par ailleurs, il est connu en théorie des codes qu'une manière efficace de construire de bons codes sur un petit corps F_q peut être de considérer de bons codes sur une extension de F_q puis de pratiquer une opération "de descente" comme l'opération dite de sous-code sur un sous-corps (subfield subcode) ou encore d'appliquer le morphisme trace coordonnée par coordonnée (trace codes).
C'est ainsi que sont définis les codes BCH ou les codes de Goppa classiques. Cette approche a été utilisée par Katsman et Tsfasman et indépendamment par Wirtz pour construire d'intéressants codes sur de petits corps à partir de codes géométriques définis sur une extension.
Dans cet exposé nous proposons une construction sensiblement différente consistant à construire un code à partir de résidus de formes différentielles fixes par l'opérateur de Cartier, autrement des formes différentielles logarithmiques. Nous montrerons que cette approche généralise de façon naturelle les codes de Goppa classiques. Nous étudierons les relations entre ces codes "de Cartier" et les codes étudiés par Katsman et Tsfasman et fournirons différentes manières d'estimer les paramètres des codes de Cartier ainsi que de ceux de Katsman et Tsfasman.


Gilles Lachaud

jeudi 28 mars
Gilles Lachaud
(IML, Marseille)
Répartition asymptotique du nombre de points
des courbes de genre 2 sur un corps fini

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/fiche/Gilles_Lachaud.html


Robert Rolland

jeudi 21 mars
Robert Rolland
(IML et Acrypta, Marseille)
Minoration du nombre de points rationnels
d'une Jacobienne sur un corps fini
et exemples dans certaines tours

Webpage: http://robert.rolland.acrypta.com

Résumé : Nous donnons en fonction des données connues sur un corps de fonctions algébrique sur un corps fini, une minoration de son nombre de classes, c'est-à-dire du nombre de points de sa Jacobienne sur ce corps fini.
Cette étude étant motivée par le calcul du nombre de classes des étages de certaines tours, nous donnons un certain nombre d'exemples et notamment des exemples effectifs de tours pour lesquelles il y a beaucoup de places rationnelles de divers degrés et pour lesquelles on donne des résultats à distance finie (i.e. pour chaque étage particulier) et pas seulement des comportements asymptotiques.
Ce travail a été fait en collaboration avec S. Ballet et S. Tutdere.


Claus Diem

jeudi 14 mars
Claus Diem
(IML et Université de Leipzig)
Systèmes linéaires spéciaux sur courbes
et le problème du logarithme discret

Webpage: http://www.math.uni-leipzig.de/~diem/english.html

Résumé : On considère le problème du logarithme discret pour les courbes d'un genre fixé. On observe que pour la résolution de ce problème avec la méthode de calcul d'index, il est d'avantage de considérer des systèmes (ou séries) linéaires spéciaux.
Les questions suivantes se posent :
Quels systèmes linéaires spéciaux les courbes ont-elles généralement ?
Comment peut-on les générer d'une façon efficace ?
Dans l'exposé ces questions seront abordées.


Christophe Ritzenthaler

jeudi 7 mars
Christophe Ritzenthaler
(IML, Marseille)
Décomposition des jacobiennes sur les corps finis

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/~ritzenth/

Résumé : Si on se fixe un ensemble fini S de variétés abéliennes sur un corps fini F_q, nous montrerons qu'il existe une borne supérieure explicite sur le genre des courbes sur F_q dont la jacobienne est isogène à un produits de puissances d'éléments de S. Très souvent, cette borne est loin d'être optimale. Nous verrons comment l'améliorer dans des cas particuliers. Ainsi sur F_2 et quand S est l'ensemble des courbes elliptiques, on donnera une borne optimale atteinte par le genre de la courbe modulaire X(11).
Nous appliquerons ensuite nos résultats pour donner la liste complète des entiers N tel que la jacobienne modulaire J_0(N) est isogène sur Q à un produit de courbes elliptiques.
Travail en commun avec N. Elkies et E. Howe.


Florian Caullery

jeudi 14 février
Florian Caullery
(IML, Marseille)
Au plus près de la non-linéarité sur F_2^n
avec les fonctions APN

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/annuaires/liste-alpha.html#ati

Résumé : Les algorithmes de chiffrement par blocs forment une des grandes familles de cryptosystèmes modernes. La sécurité de ces algorithmes repose en grande partie sur les S-Box (i.e. la substitution effectuée à chaque tour de l'algorithme). En 1989, Eli Biham et Adi Shamir publient les détails d'une attaque contre ces système, la cryptanalyse différentielle. Quelques années plus tard, Kaisa Nyberg caractérise les S-Box ayant la plus grande résistance à ces attaques. Elle donne naissance aux fonctions Almost Perfectly Non-linear (APN). Cette propriété est dépendante du corps de définition de la fonction. Le but de cet exposé est de donner un aperçu des techniques de géométrie algébrique employées pour classifier les fonctions APN sur une infinité d'extensions de $F_2^n$ (les fonctions exceptionnellement APN).


logo université Lille 1

jeudi 7 février
Sumaïa Saad Eddin
(Laboratoire Paul Painlevé, Lille 1)
Majorations explicites de L(1, χ)

Webpage: http://math.univ-lille1.fr/annuaire/index.php?table=etudiants


Anna Cadoret

jeudi 31 janvier
Anna Cadoret
(École Polytechnique, Palaiseau)
Sur la gonalité des courbes modulaires abstraites

Webpage: http://www.math.polytechnique.fr/~cadoret/

Résumé : Soit k un corps de type fini, C une courbe séparée, lisse et géométriquement connexe sur k et n un entier. A toute famille r=(r_l), l: premier de représentations linéaires continues du groupe fondamental de C dans GL_n(F_l) on peut associer des familles de 'courbes modulaires abstraites' qui, dans ce contexte, sont des analogues des courbes modulaires usuelles. Par exemple, si X est un schéma abélien sur C et r_l la représentation du groupe fondamental de C sur les points de l-torsion de la fibre générique de X->C, on obtient des courbes modulaires C_0(l), C_1(l) etc. dont les points rationnels au dessus d'un point c de C classifient les sous-groupes d'ordre l de X_c, les points de l-torsion de X_c etc respectivement. Sous des hypothèses raisonnables, on conjecture que la gonalité géométrique (et partant, le genre) de ces 'courbes modulaires abstraites' croit avec l. Cette conjecture a été résolue dans un certains nombres de cas lorsque k est de caractéristique 0 mais reste largement ouverte lorsque k est de caractéristique p>0. Dans ce cas, j'expliquerai comment, après s'être ramené par spécialisation à un corps de base k fini, la technique standard de comptage de points rationnels permet de montrer cette conjecture sous l'hypothèse que C possède un point de 'type supersingulier' pour la famille r (par exemple, si X est un schéma abélien sur C, un point c de C tel que X_c est supersingulière est de type supersingulier pour la famille r décrite ci-dessus). Comme cas particulier, on retrouve la croissance de la gonalité des courbes modulaires usuelles sur F_p.


Laurent Busé

jeudi 24 janvier
Laurent Busé
(INRIA, Sophia Antipolis)
Représentations matricielles des courbes
et des surfaces rationelles

Webpage: http://www-sop.inria.fr/members/Laurent.Buse/

Résumé : En modélisation géométrique, les courbes et les surfaces paramétrées sont très utilisés. Pour les manipuler, il est très avantageux d'en posséder une représentation implicite, en plus de leur représentation paramétrique. En effet, si les représentations paramétriques sont, par exemple, très utiles pour la visualisation, les représentations implicites sont pour leur part d'un intérêt notoire dans les calculs d'intersection. Ainsi, la problématique du passage d'une représentation paramétrique à une représentation implicite a reçu de très nombreuses contributions ces dernières années.
Dans cet exposé, je présenterai les représentations implicites matricielles des courbes et surfaces paramétrées qui consistent pour l'essentiel à caractériser une courbe ou une surface par la chute de rang d'une matrice plutôt que par l'annulation d'équation(s) polynomiale(s). J'expliquerai tout d'abord leur construction qui provient de la considération des parties graduées d'une certaine algèbre d'éclatement associée à une paramétrisation donnée. J'illustrerai ensuite leur intérêt, notamment leur lien avec les singularités des courbes et surfaces rationnelles, mais aussi le fait qu'elles permettent de livrer des problèmes géométriques à des algorithmes classiques d'algèbre linéaire, ouvrant ainsi la possibilité d'un traitement numérique plus robuste.


Marc Munsch

jeudi 17 janvier
Marc Munsch
(IML, Marseille)
Moments des fonctions thêta

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/annuaires/liste-alpha.html#ati

Résumé : Pour $\chi$ un caractère de Dirichlet modulo $D$, on définit sa fonction thêta associée $\theta(x,\chi):=\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-\frac{\pi n^2x}{D}}$. Elle intervient habituellement dans la preuve de l'équation fonctionnelle de $L(s,\chi)$. Le calcul des moments des fonctions $L$ est un problème classique de théorie analytique des nombres qui est étudié notamment pour montrer que celles-ci ne s'annulent pas pour "beaucoup" de caractères au point central de leur équation fonctionnelle. On donnera des résultats similaires dans le cadre des fonctions thêta. On regardera les moments dans deux types de familles de caractères :
1) Les caractères modulo $p$ un nombre premier.
2) Les caractères réels primitifs de conducteur $0 \leq D \leq X$.
On en déduira de même des résultats de non-annulation pour la fonction thêta au point central de son équation fonctionnelle.

EL, le 4 décembre 2013