Institut de Mathématiques de Luminy

SÉMINAIRES 2011
Arithmétique et Théorie de l'Information

Responsable: C. Ritzenthaler
Horaires: Le jeudi à 10h30
Salle: amphi du 1er étage, salle 130-134, I.M.L., Groupe des Laboratoires de Luminy (CNRS).

Planning

Pascal Molin

jeudi 15 décembre
Pascal Molin
(IMJ, Paris VII)
Calculs de valeurs de fonctions L complexes par équations fonctionnelles approchées

Webpage: http://www.math.jussieu.fr/~molinp/

Résumé : L'expérimentation numérique sur les fonctions L prend plusieurs formes : test des hypothèses standards (hypothèses de Riemann, répartition des zéros), études spectrales ou diophantiennes, classification des fonctions, recherche algorithmique exhaustive de fonctions L. Depuis les travaux de T. Dokchitser et M. Rubinstein (~2004) on sait calculer numériquement des valeurs de fonctions L très générales, sous réserve de disposer de la forme d'une équation fonctionnelle. Dans cet exposé, on expose la technique des équations fonctionnelles approchées qui permet d'obtenir de bonnes complexités d'évaluation en terme de précision et de hauteur dans la bande critique, ainsi qu'une nouvelle approche de calcul mêlant intégration numérique et somme de résidus qui rend possible des calculs rigoureux à précision arbitraire, haut dans la bande critique.


Hugues Randriambololona

jeudi 8 décembre
Hugues Randriambololona
(Télécom ParisTech)
Sur la méthode d'interpolation
de Chudnovsky-Chudnovsky en théorie
de la complexité algébrique

Webpage: http://www.infres.enst.fr/~randriam/

Résumé : On apporte quelques ingrédients nouveaux à la méthode d'interpolation de Chudnovsky-Chudnovsky pour l'estimation de la complexité bilinéaire de la multiplication dans les corps finis (interpolation asymétrique, construction de diviseurs non-spéciaux, considération de sous-schémas arbitraires) qui permettent de réparer, améliorer, ou généraliser, des énoncés de Shparlinski-Tsfasman-Vladut, Ballet, et Cenk-Ozbudak.


Fabien Pazuki

jeudi 1er décembre
Fabien Pazuki
(Université Bordeaux 1)
Morphismes polarisés
et dynamique sur les variétés abéliennes

Webpage: http://www.math.u-bordeaux1.fr/~pazuki/

Résumé : Soit X une variété projective définie sur un corps de nombres k et soit f un endomorphisme de X. On s'intéresse à la propriété suivante, dite de Manin-Mumford dynamique : pour toute sous-variété Y de X, si f admet un ensemble de point prépériodiques Zariski dense dans Y, alors Y est elle-même prépériodique. On verra que la polarisation du morphisme f et l'arithmétique du corps k jouent un rôle important dans les résultats obtenus. On étudiera surtout le cas où X est une variété abélienne.


Serge Vladuts

jeudi 24 novembre
Serge Vladuts
(IML, Marseille)
La théorie de Nyquist-Shannon non-linéaire

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/editions/biblio/bib-vladut.html

Résumé : Le but de la présentation est d'attirer l'attention des spécialistes en théorie algébrique de codage sur le cycle des travaux récents de Candès-Romberg-Tao (et al.) qui constituent un nouveau paradigme en théorie de codage avec de très nombreux liens allant de l'analyse fonctionnelle à la combinatoire. Curieusement, les méthodes algébrique, arithmétique et (algébro) géométrique pour l'instant n'ont pas leur place dans ce développement et donc devront être essayer là.


Reynald Lercier

jeudi 17 novembre
Reynald Lercier
(IRMAR et DGA, Rennes)
Construction de polynômes irréductibles
sur les corps finis

Webpage: http://perso.univ-rennes1.fr/reynald.lercier/

Résumé : Nous présentons un algorithme probabiliste qui sur entrée d'un corps fini K et d'un entier strictement positif d retourne un polynôme irréductible de degré d sur K dont la complexité en temps est quasi-linéaire en d (travail en commun avec J.-M. Couveignes).


Stéphane Louboutin

jeudi 10 novembre
exceptionnellement en
salle des séminaires
Stéphane Louboutin
(IML, Marseille)
Moyennes de fonctions $L$ et nombres de classes
des corps cyclotomiques

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/~loubouti/

Résumé : Nous donnons une expression pour le carré moyen $\vert L(1,\chi )\vert^2$ lorsque $\chi$ varie parmi les caractères impairs de Dirichlet modulo $f>2$. Nous en déduisons des majorations explicites des nombres de classes relatifs des corps cyclotomiques.


Christophe Ritzenthaler

jeudi 20 octobre
Christophe Ritzenthaler
(IML, Marseille)
Invariants et courbes hyperelliptiques :
aspects géométriques, arithmétiques et algorithmiques

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/~ritzenth/


Pascal Véron

jeudi 13 octobre
Pascal Véron
(IML, Marseille)
Chaînes d'additions euclidiennes,
courbes elliptiques et fractions continues

Webpage: http://veron.univ-tln.fr/


David Kohel

jeudi 6 octobre
David Kohel

(IML, Marseille)
Arithmétique efficace des courbes elliptiques
et courbes de Kümmer

Webpage: http://iml.univ-mrs.fr/~kohel/


Dimitrios Poulakis

jeudi 22 septembre
Dimitrios Poulakis
(Aristotle University of Thessaloniki, Greece)
Résolution pratique de l'équation diophantienne
y^2 = x^3-n^2 x


Webpage: http://users.auth.gr/~poulakis/


Everett Howe

jeudi 15 septembre
Everett Howe
(Center for Communications Research, San Diego)
Genus-4 curves with many points:
a progress report


Webpage: http://alumnus.caltech.edu/~however/


Nikolay Moshchevitin

jeudi 23 juin
à 13h30
Nikolay Moshchevitin
(Moscow Lomonosov State University)
Best Diophantine approximations
and Diophantine exponents


Publications : http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=eng&personid=8953


Andrew V. Sutherland

jeudi 16 juin
Andrew V. Sutherland
(Mathematics Department at MIT)
Sato-Tate distributions in genus 2


Webpage: http://www-math.mit.edu/~drew/

Abstract: For an abelian surface A over a number field k, we study the limiting distribution of the normalized Euler factors of the L-function of A. It is expected to correspond to the distribution of characteristic polynomials of a uniform random matrix in some closed subgroup of USp(4); conjecturally, this Sato-Tate group may be obtained from the Galois action on any Tate module of A. We show that the Sato-Tate group is limited (up to conjugacy) to 52 possibilities, only 34 of which can occur when k = Q. Remarkably, it appears that all of these possibilities actually arise; an exhaustive search of some 2^47 genus 2 curves with small coefficients yielded explicit examples that in each case have L-polynomial distributions whose moment statistics are in close numerical agreement with the distribution predicted by the corresponding Sato-Tate group.
I will give an overview of the classification of the Sato-Tate distributions in genus 2 and discuss some of the computational tools used to search for and identify representative curves for each distribution.
This is joint work with Francesc Fite, Kiran Kedlaya, and Victor Rotger.


Anna Rimoldi

jeudi 9 juin
Anna Rimoldi
(Università di Trento)
On weakly APN functions and 4-bit S-boxes


Webpage: http://www.unitn.it/en/drmath/9077/alumni

Abstract: It is important to identify conditions on the components of a block cipher that may ensure its security. There are many competing notions of security, hence several kinds of security criteria, and some of them focus on the role of the S-boxes. For a large class of nowadays block ciphers, the S-boxes are bijective vectorial Boolean functions from (F_2)^m into (F_2)^m .
In this talk, we focus on 4-bit S-boxes. A classification of 4-bit invertible S-boxes has been achieved by Leander and Poschmann (2007) with respect to standard security criteria. Other criteria have been recently introduced by A.Caranti, F.Dalla Volta and M.Sala (2009), including weak 2-uniformity (weakly APN functions). After a brief overview of this theory, we are going to present the results obtained in a recent work with C.Fontanari, V.Pulice and M.Sala. In such a work we investigated the weakly APN functions and we used them to refine the the above classification.


Kristin Lauter

jeudi 26 mai
Kristin Lauter
(Microsoft Research, Redmond)

Webpage: http://research.microsoft.com/en-us/people/klauter/default.aspx

à 10h 30

A Gross-Zagier formula for quaternion algebras
over totally real fields

Abstract: The values of the elliptic modular j-function at imaginary quadratic numbers are called singular moduli. They generate the Hilbert class field of the imaginary quadratic field and are of fundamental importance in the study of elliptic curves and in algebraic number theory, including the study of elliptic curves over finite fields. The formula of Gross and Zagier for the factorization of the norm of differences of singular moduli can be viewed as a solution to the problem of counting simultaneous embeddings of the rings of integers of two imaginary quadratic fields into a maximal order in the quaternion algebra ramified only at p and infinity. In this talk I will describe results generalizing Gross and Zagier's formula to counting simultaneous embeddings of the rings of integers of two primitive quartic CM fields into certain orders in a quaternion algebra over a totally real field. This result has applications to the problem of constructing genus 2 curves for use in cryptography. Joint work with Eyal Goren.

à 14h 30
Elliptic curve cryptography and applications

Abstract: In the last 25 years, Elliptic Curve Cryptography has become a mainstream primitive for cryptographic protocols and applications. This talk will give a survey of elliptic curve cryptography and its applications, including applications of pairing-based cryptography which are built with elliptic curves. One of the information-theoretic applications I will cover is a solution to prevent pollution attacks in content distribution networks such as BitTorrent which use network coding to achieve optimal throughput. Another application I will cover is to privacy of electronic medical records and billings systems.


Maria Petkova

jeudi 24 mars
Maria Petkova
(Humboldt Univ., Berlin)
Applications of Shimura curves to coding theory

Abstract: Since the early 80's the problem of constructing linear codes with good parameters has been transformed, due to Goppa codes, into the question of finding algebraic curves with many Fq-rational points. In a joint work of Tsfasman, Vladut and Zink it was shown that Shimura curves give rise to optimal towers of curves. Lately N. Elkies has given an explicit construction of these towers based on the knowledge of the first two curves X0, X1. The aim of this talk is to give a method how to obtain equations for X0 and X1. For this we study Shimura curves embedded in Picard Modular surfaces, analyze their properties and compute some equations.


George Shabat

jeudi 10 mars
George Shabat
(Independent Univ. of Moscow)
On the rational functions with few critical values

Abstratc: The talk will be devoted to the rational functions on algebraic curves with few critical values. The case of less than two critical values is trivial; the case of three critical values over the complex numbers is known as the theory of "dessins d'enfants" by Alexander Grothendieck.
After a brief overview of this theory we are going to concentrate on the case of four critical values; the analog of dessins d'enfants will be presented.
The relations of these objects with the geometry of moduli spaces of curves over number fields will be discussed.


jeudi 24 février
Seher Tutdere
(Sabanci Univ., Turquie)
On the construction of asymptotically exact sequences of function fields over finite fields


CV : http://myweb.sabanciuniv.edu/sehertutdere/files/2011/01/CV.pdf

Abstract: We give an affirmative answer to the following problem stated by S. Ballet and R. Rolland, and construct some examples:
Are there any asymptotically exact sequences of algebraic function fields defined over any finite field Fq of type beta= (beta_i)i≥1 with beta_ i > 0 for various i's ?


Peter Bruin

jeudi 17 février
Peter Bruin
(Univ. Paris-Sud 11)
Sur le calcul des coefficients des formes modulaires


Webpage: http://www.math.u-psud.fr/~bruin/

Résumé : Soit f une forme modulaire de poids k et niveau n sur un corps de nombres. Pour tout entier positif m, soit a_m(f) le m-ième coefficient du q-développement de f. On sait que f est déterminée par n, k et a_0(f), ..., a_N(f), avec N assez grand. On se pose la question si,
étant donnés a_0(f), ..., a_N(f) et un entier positif m, on peut calculer « rapidement » a_m(f). J.-M. Couveignes, S.J. Edixhoven et al. ont développé un algorithme qui résout ce probleme pour les formes de niveau 1. La méthode est basée sur le calcul de représentations modulaires de dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q sur des corps finis. J'expliquerai cet algorithme ainsi qu'une généralisation aux formes de plus haut niveau qui est donnée dans ma thèse, et j'en décrirai quelques applications.


Damien Robert

jeudi 10 février
Damien Robert
(ENS Paris)
Couplage optimal en fonction thêta


Webpage: http://www.normalesup.org/~robert/pro/


Sihem Mesnager

jeudi 3 février
Sihem Mesnager
(Univ. Paris 13)
Résultats récents sur les fonctions courbes et
"hyper-courbes" et liens avec les sommes de Kloosterman et les polynômes de Dickson


Webpage : http://www.math.univ-paris13.fr/ann/indiv/?clef=MSCzeSQyTq

Abstract: Bent functions are maximally nonlinear Boolean functions with an even number of variables. They were introduced by Rothaus in 1976. For their own sake as interesting combinatorial objects, but also because of their relations to coding theory (Reed-Muller codes) and applications in cryptography (design of stream ciphers), they have attracted a lot of research specially in the last 15 years. The class of bent functions contains a subclass of functions, introduced by Youssef and Gong in 2001, the so-called hyper-bent functions whose properties are still stronger and whose elements are still rarer than bent functions. Bent and hyper-bent functions are not classified. A complete classification of these functions is elusive and looks hopeless. So, it is important to design constructions in order to know as many of (hyper)-bent functions as possible. This talk is devoted to the constructions of bent and hyper-bent Boolean functions in polynomial forms. We survey and present an overview of the constructions discovered recently. We extensively investigate the link between the bentness property of such functions and some exponential sums involving Dickson polynomials.


Angela Ortega

jeudi 27 janvier
Angela Ortega
(Humboldt Universität, Berlin)
Variétés de Prym associées
à un revêtement triple non-cyclique


Webpage: http://www-irm.mathematik.hu-berlin.de/~ortega/

Résumé : Les variétés de Prym classiques sont des variétés abéliennes principalement polarisées associées à des revêtements étale doubles d'une courbe algébrique. On étudie des variétés Prym-Tyurin d'exposant 3 induites par un revêtement étale triple non-cyclique d'une courbe de genre deux, qui sont des surfaces abéliennes principalement polarisées. Dans cette exposé on montre que l´espace des modules de tels revêtements est une variété rationnelle de dimension 3.
L'ingrédient basique utilisé dans la description explicite de cet espace de modules est que toute courbe de genre 4 admettant a revêtement triple non cyclique, est en fait une courbe hyperelliptique. Ceci est un travail en collaboration avec Herbert Lange.


Alain Couvreur

jeudi 13 janvier
Alain Couvreur
(IMB, Bordeaux)
Surfaces rationnelles produisant de bons codes


Webpage: http://www.math.u-bordeaux1.fr/~couvreur/

Résumé : Un certain nombre des surfaces étudiées pour construire de bons codes géométriques, sont rationnelles (surfaces quadriques étudiées par Aubry et Edoukou, Surfaces cubiques abordées par Zarzar etc...). Toutefois, les méthodes développées pour étudier les codes qui leur sont associées n'utilisent jamais cette propriété de rationalité.
Dans cet exposé, nous présenterons une nouvelle méthode d'estimation des paramètres des codes sur une surface quadrique en utilisant un paramétrage rationnel de celle-ci. Cet exemple motivera la construction d'exemples surfaces rationnelles par éclatement du plan projectif en des points fermés. Lesquelles surfaces produisent d'excellent codes.


Vincent Verneuil

jeudi 6 janvier
Vincent Verneuil
(IMB, Bordeaux)
Multiplication scalaire sur carte à puce
et attaques par canaux auxiliaires


Webpage: http://www.math.u-bordeaux1.fr/~vverneui/research.php

Abstract: Scalar multiplication is the main operation of Elliptic Curve Cryptography. Its implementation on smart cards in an industrial context requires much effort in order to satisfy performance and security goals. Indeed short timing execution are required in many applications and must be achieved given the power and memory constraints of the smart cards. On the other hand the well known side- channel analysis can threaten the secrets manipulated by the card, such as secret scalars. Therefore numerous studies have proposed solutions for speeding-up the elliptic curve scalar multiplication and counterfeiting side-channel attacks. Not all of these solutions fit to the industrial smart card context however.

 

EL, le 8 décembre 2011