30 mai 2017 : Séminaire

Autour de l’hypothèse homotopique de Grothendieck

11:00: Edoardo Lanari (Macquarie University), Globular models for weak higher dimensional structures

The state of the art of higher category theory offers a wide variety of models for ∞-categories, and introduces the problem of comparing them. The two most important differences consist of the basic shapes we allow for our theory and their being algebraic or not. We will introduce a globular model for ∞- groupoids, that was first conjectured by A. Grothendieck, and describe its prominent features, If time permits, we will also outline how a comparison with topological spaces can be made quite explicitely, leading to the formulation of the so-called "Homotopy Hypothesis".

14:00: Simon Henry (Collège de France), Théorie homotopique des types et modèles algébriques pour les infinis catégories et groupoïdes

Dans son manuscrit “À la poursuite des champs” Grothendieck propose une définition “d'infini-groupoïde” ainsi qu'une notion d'équivalence entre eux et conjecture que la catégorie homotopique est équivalente à sa catégorie des infini-groupoïdes “à équivalence près”.

Cette conjecture (l'hypothèse d'homotopie) est toujours un problème ouvert, et il y a de très nombreuses questions basiques concernant cette notion d'infini-groupoïdes qui restent sans réponse. Pour cette raison, on préfère généralement utiliser les ensembles simpliciaux et les complexes de Kan pour définir la notion d'infini-groupoïde et servir de point de départ pour la théorie des catégories supérieures.

Cela dit l'apparition de la théorie homotopique des types nous donne de nouvelles motivations pour s'intéresser à cette notion d'infini-groupoïdes : tout d'abord n'importe quel type en théorie homotopique des types porte une structure d'infini-groupoïde au sens Grothendieck, ensuite, si la théorie des types est censée être la logique interne de certaines infini-catégories, il s'agit à priori d'infini-catégories globulaires, i.e. d'un genre plus proche de la définition de Grothendieck que des versions simpliciales. Enfin, on sait internaliser en théorie des types la définition d'infini-groupoïdes de Grothendieck, alors qu'on est très loin de savoir faire de même pour les approches simpliciales.

Dans cet exposé je vais présenter une nouvelle famille de définitions de la notion d'infini-groupoïde qui sont inspirées à la fois de celle de Grothendieck et de la théorie homotopique des types. Elles conservent certaines des bonnes propriétés de la définition de Grothendieck, mais échappent aux problèmes de celle-ci. On sait en particulier prouver l'analogue de l'hypothèse d'homotopie pour cette définition.

On énoncera aussi une conjecture technique précise, d'apparence simple, qui impliquerait que la définition de Grothendieck est un cas particulier de la nôtre, et qui donc impliquerait aussi l'hypothèse d'homotopie et résoudrait une partie des problèmes ouverts concernant la définition de Grothendieck.

15 juin 2017, 11:00 : Séminaire

Luc Pellissier (LIPN, Paris 13), Linear approximations, fibrations, intersection types

We investigate intersection types from the “type systems as functors” viewpoint, as recently given by Melliès and Zeilberger. After recasting type-theoretic notions such as subject reduction and subject expansion in functorial terms, we will give an intersection type system for linear logic (deriving from the fact that propositional linear logic is aproximated by its multiplicative fragment). Pulling back this intersection type system along translations of embeddings of a term language into linear logic gives a corresponding intersection type system. We discuss several instances of this general construction, recovering known systems and their usual properties.

Joint work with Damiano Mazza and Pierre Vial.

29 juin 2017

Séminaire Chocola à Lyon.