Institut de Mathématiques de Luminy
C.N.R.S. - U.M.R. 6206

Géométrie Non Commutative

Vous pouvez également obtenir une présentation détaillée des activités dans le :
Rapport scientifique 1999-2000

     
La géométrie non commutative, largement développée par Alain Connes, abandonne la notion de point comme entité géométrique fondamentale. Du point de vue de celle-ci, toutes les propriétés géométriques sur les surfaces (ou plus généralement variétés) sont lues à travers les algèbres commutatives formées des fonctions (observables) sur celles-ci. Réciproquement à des problèmes géométriques on associe une algèbre commutative ou non. Les C*-algèbres non commutatives forment le cadre naturel de cette généralisation de la géométrie ordinaire, et elles peuvent être étudiées par des méthodes spécifiques : KK-théorie de Kasparov,... Les travaux suivants illustrent cette théorie.

   Nous associons une algèbre à chaque complexe simplicial. Supposons que ce complexe simplicial soit un complexe de Rips associé avec un espace discret hyperbolique (ou plus généralement espace bolique). Alors, la K-théorie de cette algèbre possède des propriétés qui permettent de démontrer la conjecture de Novikov pour les groupes agissant proprement isométriquement sur l'espace bolique initial.

   Nous associons une algèbre à l'espace de Hilbert. La K-théorie de cette algèbre possède des propriétés qui permettent de démontrer les conjectures de Novikov et de Baum-Connes pour les groupes agissant proprement affine-isométriquement sur un espace de Hilbert.

   Nous obtenons des algèbres non commutatives graduées de dimension finie par quantification des espaces homogènes compacts supersymétriques. Ces algèbres régularisent les supervariétés simplectiques. Leurs structures supergéométriques non-commutatives sont utilisées pour construire les théories supersymétriques de jauge sur ces espaces homogènes non-commutatifs.

   Nous établissons la stabilité de la conjecture de Baum-Connes à coefficients par le produit semi-direct des groupes.

   Une variante des opérateurs de Fredholm est adaptée aux espaces hilbertiens filtrés. On étend la classe des opérateurs pseudo-différentiels avec symbole anti Wick aux espaces de dimension infinie. Nous construisons une extension de ces opérateurs pseudo-différentiels et calculons l'application bord en K-théorie, au moyen d'un indice de Fredholm relatif à une famille d'algèbres de von Neumann.

   Parmi les différentes théories de déformation topologique, on dispose pour les algèbrres stellaires de la notion de champ continu stellaire étudiée par Dixmier. En généralisant des travaux de Voiculescu, Kasparov et Kirchberg, nous obtenons une caractérisation ''naïve'' des champs continus stellaires nucléaires (et exacts). Nous nous intéressons également à la classification des algèbres stellaires nucléaires (non simples) à travers des arguments K-théoriques.

   Un domaine trés vivant est celui initié par Jones il y a une quinzaine d'années, avec la découverte de l'indice des sous-facteurs et de l'invariant des noeuds. La liste des théories connexes s'est considérablement élargie et comprend maintenant toute une série d'objets issus de la physique, notamment la théorie conforme des champs quantiques. Nous nous intéressons au lien entre les sous-facteurs et les représentations d'énergie positive des groupes de lacets des groupes compacts simples. A partir de ces représentations il y a une abondance de constructions de sous-facteurs dont l'étude des structures est très intéressante. De plus, à la place des groupes, on peut étudier des W-algèbres, en particulier les algèbres superconformes : ce sont des exemples d'algèbres à vertex introduits par Borcherds.

   Un autre thème de l'équipe est l'analyse harmonique sur les espaces symétriques réductifs, qui sont les quotients de groupes réductifs par un sous-groupe ouvert des points fixes d'un automorphisme involutif. Nous avons obtenu une preuve de la formule de Plancherel, c'est à dire la désintégration des fonctions à l'aide de fonctions propres sous les opérateurs différentiels invariants . Plus récemment, nous avons étudié les plongements de séries discrètes dans des séries principales, dans le but d'expliciter les facteurs de Plancherel. Nous avons également établi des généralisations des relations d'orthogonalité de Schur.


Dernière mise à jour le 8 janvier 2004, EL