Institut de Mathématiques de Luminy

Abstract 2003-05

Marin Ivan.
On the representation theory of braid group

Résumé.
Nous présentons une étude de la théorie des représentations du groupe de tresses Bn, pour des représentations de dimension finie génériques. Ce sont celles que l'on peut obtenir sur les corps de séries de Laurent, à l'aide d'associateurs de Drinfeld, à partir de représentations des tresses infinitésimales. Nous proposons un dictionnaire entre les propriétés de théorie de représentations de ces deux structures — ainsi que des outils pour décrire explicitement les représentations de Bn qui en sont déduites. Nous expliquons l'apparition de structures unitaires sur les représentations classiques. Nous introduisons de nouveaux objets (variétés d'extensions tressées, quotients infinitésimaux) utiles dans ce cadre et étudions plusieurs de leurs propriétés. Nous passons enfin en revue les représentations les plus classiques du groupe de tresses — que nos méthodes permettent de retrouver — et montrons comment ce cadre enrichit la compréhension que l'on a d'elles.

Abstract.
This work presents an approach towards the representation theory of the braid groups Bn. We focus on finite-dimensional representations over the field of Laurent series which can be obtained from representations of infinitesimal braids, with the help of Drinfeld associators. We set a dictionary between representation-theoretic properties of these two structures, and tools to describe the representations thus obtained. We give an explanation for the frequent apparition of unitary structures on classical representations. We introduce new objects — varieties of braided extensions, infinitesimal quotients — which are useful in this setting, and analyse several of their properties. Finally, we review the most classical representations of the braids groups, show how they can be obtained by our methods and how this setting enrich our understanding of them.

 


Last update : june 5, 2003, EL.