Institut de Mathématiques de Luminy

RAPPORT D'ACTIVITÉ

ALGÈBRES D'OPÉRATEURS ET GÉOMÉTRIE

1. K-THÉORIE DES GROUPES ARITHMÉTIQUES
2. K-THÉORIE ET COHOMOLOGIE LOCALE CYCLIQUE
 

2.1.   Excision et la filtration de Hodge en homologie cyclique périodique
2.2.   Caractères des modules de Fredholm et un problème de Connes
2.3.   Cohomologie cyclique locale
2.4.   Invariants homologiques des C*-algèbres

3. ALGÈBRES DE VON NEUMANN, SOUS-GROUPES QUANTIQUES
4. C*-ALGÈBRES ET GROUPES QUANTIQUES AFFINES
5. ACTIONS DE GROUPES DE LIE SUR LES ALGÈBRES DE VON NEUMANN
6. PROJETS DE RECHERCHES

1. K-THÉORIE DES GROUPES ARITHMÉTIQUES

Ce thème est étudié par G. Kasparov.
Pour les sous-groupes arithmétiques de groupes de Lie semi-simples G de rang 2 (comme par exemple), il n'existe pour l'instant aucune méthode pour calculer la K-théorie de leurs C*-algèbres et . La conjecture de Baum-Connes n'est pas encore démontrée même pour . Notons que la conjecture de Baum-Connes affirme que chaque élément du groupe est l'indice d'un opérateur elliptique -invariant sur une variété -compacte. Néanmoins il existe des opérateurs sur des variétés non -compactes très naturellement reliés aux groupes arithmétiques qui permettent d'obtenir des éléments des groupes et . G. Kasparov a construit certains éléments des groupes

et pour .

L'idée de la construction est d'utiliser l'opérateur de Dirac sur un fibré sur G / K associé à un module de Clifford sur l'algèbre de Clifford muni d'action isométrique de K, où K est un sous-groupe maximal compact de G, est l'espace cotangent de G / K au point (K). Comme l'action de sur G / K est propre et isométrique, il existe un module de Hilbert sur associé à ce fibré sur G / K et l'opérateur de Dirac agit comme un multiplicateur non borné sur ce module de Hilbert. Mais comme la variété G / K n'est pas -compacte, il faut modifier l'opérateur de Dirac à l'infini pour que cet opérateur soit Fredholm. L'indice de cet opérateur donne un élément des groupes et .

L'idée de modification de l'opérateur de Dirac est similaire au cas d'une variété à bord (pour des variétés à bord cette idée appartient principalement à E. Leichtnam, P. Piazza, voir "Spectral sections and higher Atiyah-Patodi-Singer index theory on Galois coverings'', GAFA, 8 (1998), 17-58.) Dans le cas d'une variété à bord, il faut modifier la restriction de l'opérateur de Dirac sur le bord pour le faire inversible au bord. Le cas du groupe est plus compliqué. On utilise la compactification de Borel-Serre de l'espace symétrique / K (qui est une variété à coins) à la place d'une variété à bord.

Il est très intéressant de comprendre si les éléments construits sont dans l'image de l'homomorpisme de Baum-Connes. En plus de l'intérêt que ces éléments présentent pour la conjecture de Baum-Connes, ils sont bien reliés aux "multiplicités classiques des représentations intégrables'' de G dans le spectre cuspidal de G /. Ces "multiplicités classiques'' sont définies même pour des groupes sans représentations integrables, par l'homomorphisme de Gelfand - Pyatetski-Shapiro

K0(C*(G)) -> K0(K(0L2(G/G ))).

Ceci peut permettre d'obtenir des informations sur ces multiplicités classiques par des méthodes topologiques.

2. K-THÉORIE ET COHOMOLOGIE LOCALE CYCLIQUE

2.1. Excision et la filtration de Hodge en homologie cyclique périodique

M. Puschnigg a déterminé les valeurs possibles du décalage des dimensions sous la flêche de bord en homologie cyclique périodique pour les extensions d'algèbres soit scindées soit inversibles. Ceci donne une obstruction quantitative à l'excision en (co)homologie cyclique pour ces extensions. On obtient ici des résultats plus forts que pour des extensions quelconques.

2.2. Caractères des modules de Fredholm et un problème de Connes

A. Connes a établi une formule de caractère explicite pour les modules de Fredholm -sommables. M. Puschnigg a calculé ce caractère dans le cas d'un module "de dimension infini" sur la C*-algèbre réduite d'un réseau uniforme dans un groupe de Lie semisimple de rang réel un. Ceci donne une solution partielle du Problème 11 (page 83) dans Géométrie Noncommutative (InterEditions, 1990, 240pp). La démonstration est basée sur une comparaison de la formule de caractère de Connes et du caractère abstrait bivariant de Excision in cyclic homology theories (Invent.Math. 143, 2000), qui permet d'utiliser les calculs et résultats de The Kadison-Kaplansky conjecture for word-hyperbolic groups (Invent. Math. 149, 153--194, 2002).

2.3. Cohomologie cyclique locale

Les théories cycliques connues sont souvent dégénerées ou triviale pour les C*-algèbres. M. Puschnigg a développé une nouvelle théorie de cohomologie cyclique pour les algèbres de Banach et les C*-algèbres, la cohomologie cyclique locale. Elle possède des bonnes propriétés fonctorielles (même pour les C*-algèbres) et elle est calculable par des moyens de l'algèbre homologique. La construction est motivée et s'explique par la théorie de difféotopie stable des ind-algèbres. La cohomologie cyclique locale était introduite avant 2002 (non publié), mais le cadre catégorique abstrait de la théorie de difféotopie stable était développé en 2002/03.


2.4. invariants homologiques des C*-algèbres

M. Fuchs est en deuxième année de sa thèse sous la direction de M. Puschnigg. Dans son mémoire de DEA, il a comparé plusieurs démonstrations du théorème de périodicité de Bott : d'une part la démonstration d'Atiyah dans laquelle la méthode Dirac-dual Dirac est introduite et d'autre part la démonstration opératorielle de Cuntz basée sur l'extension de Toeplitz. Le sujet de thèse de M. Fuchs est l'étude des invariants homologiques des C*-algèbres produits croisés associées aux groupes de Lie. Il considère l'action des réseaux uniformes dans un groupe semisimple sur le bord de l'espace symétrique associé. Le problème, si l'unité du produit croisé correspondant est un élément de torsion en K-théorie était résolu par A. Connes dans le cas SL2. M. Fuchs a récemment généralisé l'approche de Connes aux groupes semisimples quelconques.

La fin de ce chapitre est un extrait du rapport scientifique 1999-2002

3. ALGÈBRES DE VON NEUMANN, SOUS-GROUPES QUANTIQUES

Ce thème développé par A. Wassermann porte sur les algèbres de von Neumann, les sous-groupes quantiques et la théorie conforme des champs au bord.

En utilisant l'opération de fusion de Connes en algèbres de von Neumann, A. Wassermann a montré il y a dix ans comment associer une catégorie unitaire tressée à la série discrète d'un groupe de lacets à un niveau fixé. D’autre part chaque sous-facteur fournit une catégorie unitaire.

Après son installation à Luminy en octobre 1999, A. Wassermann a introduit la notion de sous-groupe quantique pour les catégories unitaires. C’est une *-algèbre unifère et ergodique dans la catégorie. Dans le cas des groupes de lacets, il a démontré que de telles algèbres abéliennes correspondent exactement aux extensions unitaires des algèbres à vertex associées, généralisations naturelles des "inclusions conformes". Il a aussi démontré comment construire les autres sous-groupes quantiques à partir des automorphismes de la catégorie originale. Ces deux constructions peuvent être utilisées pour expliciter tous les opérateurs qui figurent dans une théorie conforme des champs au bord.

Avec Hans Wenzl, il a démontré un théorème de reconstruction, tout à fait analogue à son résultat avec David Kazhdan, qui permet de reconnaître l’existence de tels automorphismes. Avec Vaughan Jones, A. Wassermann a montré comment définir un sous-groupe quantique en utilisant les données combinatoires de la mécanique statistique, en particulier les carrés commutants que Jones a introduit dans les années quatre-vingt pour chaque diagramme de Dynkin. Suivant une question posée par Michael Freedman, il a trouvé une démonstration d'un résultat de rigidité, annoncé sans démonstration par Ocneanu il y a longtemps.

Avec Étienne Blanchard, il a trouvé des applications de cette méthode aux algèbres de Hopf et leurs généralisations, dues à Drinfeld. En particulier ils ont trouvé une correspondance entre algèbres de Hopf généralisées et sous-groupes quantiques associés à l'algèbre de Hopf originale.

Dans le même esprit, A. Wassermann a trouvé une description très simple et efficace du double quantique en généralisant légèrement la notion de sous-groupe quantique.

4. C*-ALGÈBRES ET GROUPES QUANTIQUES AFFINES

Il s'agit des relations liant C*-algèbres, groupes quantiques affines et l'analyse des modèles exactement résolubles sur réseaux.

Il y a vingt-cinq ans Rodney Baxter a proposé sa méthode de matrice de transfert au coin pour les modèles ABF, définis par Andrews, lui et Forrester. Il a conjecturé que, peut-être en utilisant des méthodes C*-algèbriques, on pourrait démontrer que le spectre de l'opérateur hamiltonien associé est discret, positif et indépendant du paramètre de déformation du modèle. Sans résoudre la conjecture de Baxter, l'école de Kyoto a montré comment utiliser un groupe quantique affine pour donner une solution heuristique du modèle.

A. Wassermann a associé directement au modèle une C*-algèbre avec dérivation. A. Wassermann a démontré que la dérivation engendre un flot périodique (d'où un spectre discret). Il faut chercher des états fondamentaux de ce flot. Quand q = 0, la théorie des bases cristallines permet de calculer explicitement ces états - il n'y en a qu'un nombre fini - et de diagonaliser l'opérateur hamiltonien. A. Wassermann a démontré que chacun de ces états admet un unique prolongement analytique à q 0. Ce prolongement est fourni par une construction explicite du système dynamique non commutatif à travers des opérateurs à vertex quantiques.

5. ACTIONS DE GROUPES DE LIE SUR LES ALGÈBRES DE VON NEUMANN

Ce thème porte sur les actions extérieures de groupes de Lie compacts sur les algèbres de von Neumann. La classification des actions des groupes cycliques sur les algèbres de von Neumann a été effectuée par Alain Connes. Ses travaux ont été prolongés par Vaughan Jones aux groupes finis.

Sorin Popa et A. Wassermann, utilisant la classification des sous-facteurs moyennables, ont généralisé ces résultats aux actions ordinaires de groupes de Lie compactes. Peter Teichner et Stefan Stolz ont commencé un programme qui a comme but l'utilisation de la théorie de fusion de Connes pour décrire les structures "string" en théorie de cohomologie elliptique. Leurs travaux ont fait suggérer à A. Wassermann que la construction des sous-facteurs due à Jones et lui devait donner lieu à un homomorphisme naturel d'un groupe de Lie compact simplement connexe G dans le groupe des automorphismes d'un facteur modulo des automorphismes intérieurs. A. Wassermann a introduit des invariants de ces "G-noyaux" : un 3-cocycle borélien et une action de G sur le flot des poids du facteur. Si le facteur est stable par tensorisation par une action minimale, il a démontré que ces invariants sont complets et chaque invariant est réalisé. Les exemples construits à partir des groupes de lacets sont stables, grâce à une version quantifiée de la théorie de Brown-Douglas-Fillmore lisse.

Avec Stolz et Teichner, A. Wassermann propose un analogue de la conjecture de Connes-Kasparov pour un groupe de lacets. On veut comprendre comment utiliser la fusion de Connes pour construire des objets sur une surface de Riemann. Tout cela est relié à cette structure "string".

6. PROJETS DE RECHERCHES

A. Wassermann se propose d'étudier, avec Sorin Popa, la classification des actions de groupes de Lie compacts sur les facteurs de type III, en utilisant des cocycles non abéliens en théorie ergodique.

Il étudie la construction des sous-groupes quantiques à partir des données combinatoires en mécanique statistique (avec Vaughan Jones) et des représentations du groupe de tresses (avec Hans Wenzl).

Il doit rédiger la théorie unitaire des représentations d'énergie positive des groupes de lacets exceptionnels et la construction des sous-facteurs irréductibles associés (avec Vaughan Jones).

A. Wassermann projette de montrer la non-existence d'actions ou de G-noyaux sur les facteurs non hyperfinis et non stables, par exemple sur les facteurs du groupe libre. Il projette de travailler à la formulation d'un analogue de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de lacets en K-homologie, utilisant l'opérateur de Dirac sur LG / LT (avec Peter Teichner et Stefan Stolz).

Il espère préciser en termes des sous-facteurs et fusion de Connes de toutes les propriétés souhaitées par Teichner et Stolz dans leur étude des structures "string" sur l'espace des lacets d'une variété spinorielle, propriétés prédites par la théorie des cordes.

Il pense étudier les C*-algèbres des pseudogroupes ou des groupoïdes étales associées au groupe de difféomorphismes d'une variété spinorielle (avec Thomas Schucker et Bruno Iochum).

Enfin A. Wassermann veut développer le formalisme opératoriel de la théorie conforme des champs au bord (avec Andreas Recknagel).

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