Institut de Mathématiques de Luminy

RAPPORT D'ACTIVITÉ

DYNAMIQUE, ARITHMÉTIQUE ET COMBINATOIRE

1. INTRODUCTION 
2. COMBINATOIRE
 

2.1.   Combinatoire des mots
2.2.   Mots bidimensionnels
2.3.   Suites pseudo-aléatoires

3. ARITHMÉTIQUE
 

3.1.   Propriétés arithmétiques des suites automatiques
3.2.   Discrépance
3.3.   Fractions continues classiques
3.4.   Bêta-numération
3.5.   Bases additives
3.6.   Fractions continues généralisées

4. DYNAMIQUE
 

4.1.   Dynamique topologique
4.2.   Propriétés statistiques des systèmes dynamiques
4.3.   Échanges d'intervalles
4.4.   Substitutions sur un alphabet infini
4.5.   
Billards
4.6.   Systèmes substitutifs, automorphismes de groupes libres, et partitions markoviennes des automorphismes du tore
4.7.   Automates Cellulaires

5. PERSPECTIVES
 

5.1.   Généralisations des développements en fractions continues
5.2.   Autour de la complexité des suites
5.3.   Autour des billards
5.4.   
Quelques autres thèmes

APPENDIX A. DYNAMIQUE ET GROUPES
 

A.1.   Synthèse
A.2.   
Thèmes de recherche et d'auto-formation

1. INTRODUCTION

Le choix de la subdivision en thèmes et sous-thèmes adoptée est très arbitraire. Une des spécificités de l'équipe est justement la variété des interactions entre différents domaines.

Il faut signaler que plusieurs membres de l'équipe sont éditeurs d'un ouvrage collectif de 400 pages, intitulé "Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics", et paru en octobre 2002 aux Lecture Notes in Mathematics de Springer-Verlag sous le numéro 1794. Cet ouvrage donne un survol des substitutions et des questions reliées, abordant une grande partie des thèmes de l'équipe.

Un développement récent et important, qui touche plusieurs axes de l'équipe, est la coopération avec les autres mathématiciens marseillais (LATP en particulier) qui à démarré à la suite du mois thématique de l'Odyssée Dynamique, en 2001, et qui s'est développée ces dernières années au groupes de travail "Bords de groupes et marches aléatoires" et "Teichmüller". On pourra consulter le programme de travail mis en annexe.

2. COMBINATOIRE

2.1. Combinatoire des mots

Pour un mot fini ou infini sur un alphabet fini, la fonction de complexité p(n) compte le nombre de facteurs de longueur n.

J. Cassaigne a developpé des techniques pour calculer la fonction de complexité de certaines familles de mots infinis, notamment ceux définis par des substitutions, ainsi que pour construire des mots infinis ayant (au moins asymptotiquement) une fonction de complexité spécifiée. Il a obtenu ainsi des mots dont la complexité n'est ni polynomiale, ni exponentielle.

Les mots sturmiens peuvent être caractérisés par leur fonction de complexité et on connait assez peu d'autres exemples pour lesquels cela est possible. A. Aberkane et S. Brlek (Montréal) ont caractérisé les mots infinis qui ont la même complexité que le mot de Thue-Morse.

J. Cassaigne travaille avec M. Anisiu (Cluj-Napoca) sur la complexité des mots finis et la construction de mots finis de complexité maximale. Il s'intéresse aussi à d'autres fonctions associées à des mots infinis, comme la fonction de récurrence ou la fonction de complexité palindromique. Par exemple, avec J-P. Allouche (Orsay), M. Baake (Greifswald) et D. Damanik (Caltech), ils ont comparé la fonction de complexité palindromique à la fonction de complexité usuelle.

Si est un nombre réel de (0,1), g > 1 un nombre entier fixe et W le développement g-adique de x, on appelle complexité topologique g-adique de la complexité du mot infini W. C. Mauduit et C. G. Moreira (IMPA, Rio de Janeiro, Bresil) ont entrepris une classification des nombres réels en fonction de leur complexité topologique. Le travail permet d'une part de donner des estimations asymptotiques, pour fixée, du nombre de mots de longueur n qui sont facteurs d'un mot infini W dont la complexité est majorée par et d'autre part de déterminer la mesure de gauge de l'ensemble des nombres réels dont la complexité topologique g-adique est majorée par . La classification des nombres réels qui en découle peut être appliquée pour résoudre certaines questions additives concernant les nombres réels.

J. Cassaigne travaille avec J. Karhumäki et J. Manuch (Turku) sur les équations sur les langages, notamment la commutation et la conjugaison.

P. Arnoux, V. Berthé et J. Cassaigne ont étudié une généralisation de la notion de substitution, les substitutions par des motifs (ou "mots à trous"). Ils ont complètement caractérisé les substitutions par des motifs qui agissent sur toute les suites, et montré que tous les points fixes ainsi obtenus sont substitutifs; on n'élargit donc pas la classe des mots substitutifs en considérant des substitutions par des motifs, au lieu de substitutions usuelles.

2.2. Mots bidimensionnels

La fonction de complexité rectangulaire P(m,n) compte le nombre de facteurs rectangulaires de taille (m,n). La conjecture de Nivat dit que s'il existe un couple d'entiers (m,n) tels que P(m,n) mn, alors la suite est périodique. En revanche il existe des suites doubles non périodiques de complexité mn + 1 qui ontété caractérisées par J. Cassaigne.

P. Arnoux, V. Berthé et A. Siegel ont poursuivi leur étude des susbtitutions multidimensionnelles, et montré comment il est possible de cette façon d'engendrer des suites doubles correspondant aux codages de plans discrets à coordonnées algébriques.

P. Hubert et L. Vuillon ont commencé à étudier les mots infinis obtenus comme suites de coupure dans les pavages du plan définis par des polyominos.

2.3. Suites pseudo-aléatoires

Depuis une soixantaine d'années, de nombreux travaux ontété publiés concernant les suites pseudo-aléatoires. Ils présentent un large éventail d'approches, de techniques et d'applications possibles. La notion même de suite pseudo-aléatoire y est interprétée de bien des manières différentes qui dépendent souvent des applications visées.

La majorité de ces travaux proposent des constructions et/ou des tests de suites pseudo-aléatoires. D'autres travaux utilisent des méthodes issues de la logique mathématique et de la théorie des probabilités pour essayer de mieux analyser et comprendre le concept même de suite pseudo-aléatoire ; mais leur utilité pratique dans la construction effective de telles suites reste alors souvent limitée.

Dans une série de travaux, C. Mauduit et A. Sarkozy (Budapest) (certains articles étant en collaboration avec J. Cassaigne, S. Ferenczi, P. Hubert et J. Rivat), proposent de donner un cadre théorique précis à la construction de suites pseudo-aléatoires finies ou infinies (20 articles publiés depuis 1999). Les mesures qu'ils définissent sont liées à la fois à la normalité, à la répartition dans les progressions arithmétiques et au contrôle des corrélations multiples de ces suites. Elles permettent par exemple, grâce à des méthodes issues soit de la théorie des systèmes dynamiques, soit de la géométrie algébrique, d'analyser les propriétés statistiques de certaines suites arithmétiques binaires classiques (suites automatiques, symbole de Legendre, fonction de Liouville, codages de produits croisés au dessus de rotations irrationnelles du tore, ...). Ils ont introduit, en collaboration avec R. Ahlswede et L. Khachatrian (universite de Bielefeld, Allemagne) une notion de complexité pour les familles de suites pseudo-aléatoires qui pourrait permettre l'utilisation de certaines constructions pour des applications intéressantes en cryptographie (travail en collaboration avec L. Goubin (Schlumberger, Louveciennes)). Un travail recent de C. Mauduit en collaboration avec N. Alon (universite de Tel-Aviv, Israel), Y. Kohayakawa (universite de Sao Paulo, Bresil), C. G. Moreira (IMPA, Bresil) et V. Rodl (universite Emory, USA) permet de donner des estimations trés précises des valeurs minimales et des valeurs moyennes de ces mesures.

3. ARITHMÉTIQUE

3.1. Propriétés arithmétiques des suites automatiques

En collaboration avec E. Fouvry (Université Paris-Sud), C. Pomerance (Bell Labs - Lucent Technologies, Murray Hill, USA), J. Rivat (universite Henri-Poincare) et A. Sarkozy (universite Eotvos Lorand, Budapest, Hongrie), C. Mauduit a développé des méthodes permettant d'étudier les propriétés multiplicatives de suites d'entiers definies par certaines propriétés de leur développement q-adique (3 articles publiés depuis 2003).

L'arrivée de J. Rivat, depuis le 1/2/2004, en apportant de nouvelles compétences en arithmétique, va permettre de poursuivre les travaux entrepris sur les propriétés arithmétiques des suites, les suites pseudo-aléatoires et leurs applications, en particulier en cryptologie, et va renforcer les interactions au sein du laboratoire en arithmétique et en algorithmique, notamment avec S. Louboutin.

3.2. Discrépance

H. Faure a amorcé en 2002 l'étude d'une famille de suites numériques uni-dimensionneles, les (0,1)-suites digitales en base b (b premier), à la suite des travaux de G. Larcher et F. Pillichshammer (Linz) sur les mêmes suites en base 2. Il a obtenu des résultats très généraux sur la discrépance et la diaphonie de ces suites en 2003-2004 (à paraître aux Acta Arithmetica). Il a commencé à en tirer les conséquences pour divers aspects de la répartition fine des suites finies ou infinies en dimensions 1 et 2 (un article accepté et un soumis). Cette étude s'inscrit dans le regain d'intérêt pour les irrégularités de distribution en petites dimensions avec les travaux de plusieurs équipes autrichiennes (Linz, Salzbourg, Vienne), en relation avec les méthodes de simulation de Quasi-Monte Carlo (QMC). Dans ce dernier domaine, H. Faure travaille à présent avec deux chercheurs canadiens, P. L'Ecuyer (chaire de Canada en simulation et optimisation stochastique de l'Université de Montréal) et C. Lemieux (département de mathématique et statistique de l'Université de Calgary), sur l'accélération de convergence des méthodes QMC (SSJ User's guide, librairie Java en construction et mathématiques financières) . Par ailleurs, H. Faure et H .Chaix continuent leur étude de bornes inférieures pour la discrépance des suites infinies en dimension 2.

3.3. Fractions continues classiques

Un problème pratique important dans la théorie des fractions continues est celui de la détermination explicite du développement. Plus précisement, le problème posé est le suivant : étant donné un nombre défini "formellement'' (comme par exemple) et un entier k 1, combien faut-il prendre de décimales de pour en extraire les k premiers quotients partiels ? Les premiers résultats significatifs dans cette direction ont été obtenus par Lochs dans les années 60. C. Faivre travaille dans cette direction (il a en particulier une borne explicite pour le problème posé ci-dessus), et sur les propriétés ergodiques des quotients partiels du développement en fraction continue.

3.4. Bêta-numération

Mohamed Hbaieb, qui termine actuellement une thèse en cotutelle sous la direction de C. Mauduit et M. Mkaouar (universite de Sfax, Tunisie) a étudié les propriétés des -développements dans le cadre des séries formelles sur un corps fini.

Les numérations classiques en base entière sont naturellement generalisées dans le cadre de base non-entière par la -numeration. Dans ce cadre, les rôles d'entiers, de décimaux et de rationnels sont joués par de nouveaux ensembles, dont les propriétés arithmétiques ne sont pas encore entierement connues. Par exemple, on ne sait pas dans quelle mesure un developpement fini en fractions continues, dans lequel les quotients partiels ne sont plus des entiers mais des -entiers, caractérise les éléments de Q(). Ce resultat est vrai pour le cas particulier où la base de numération est celle définie par le nombre d'or.

L'ensemble des -entiers n'est pas stable sous les opérations usuelles que sont l'addition et la multiplication, ce qui fait apparaître une partie fractionnaire en base non nulle pour la somme ou le produit de deux -entiers. Lorsque est un nombre de Perron, l'ensemble de toutes les parties fractionnaires pouvant être obtenues peut contenir des parties fractionnaires finies, ultimement périodiques, ou bien encore infinies sans régularité apparentes. Si l'on se limite a la détermination de celles qui sont finies ou ultimement périodiques, alors l'ensemble de ces possibilités ne contient qu'un nombre fini d'éléments, et cet ensemble est explicitement calculable. Pour le cas de la multiplication de deux -entiers, on obtient également un nombre fini de parties fractionnaires qui sont finies ou ultimement périodiques.

Le cadre de la -numération fait également apparaître l'utilisation de fractals de Rauzy, qui permettent une interprétation géometrique de la numération dans la mesure où ils caractérisent un échange de morceaux, et sous une certaine hypothèse combinatoire un pavage de Rd. On peut faire un lien entre une propriété du langage sous-jacent, défini par les trajectoires dans ce fractal, et une propriété géométrique du fractal ainsi construit : le langage est stable par image miroir si et seulement si le fractal est stable par une certaine symétrie centrale. Ce cas caractérise une classe bien particulière de nombres de Pisot, pour lesquels on retrouve des suites d'Arnoux-Rauzy comme point fixe de la substitution définie par le choisi.

3.5. Bases additives

Une base additive asymptotique exacte d'ordre h est un ensemble d'entiers tel que tout entier suffisamment grand s'écrit comme somme de h éléments de la base. J. Cassaigne et A. Plagne (école polytechnique) étudient la façon dont varie l'ordre d'une base lorsqu'on la prive de l'un de ses éléments. Ils ont montré que la fonction S de Grekos, qui caractérise ce comportement, a une croissance linéaire comprise entre h + 1 et 2h.

3.6. Fractions continues généralisées

On peut décrire parfaitement la combinatoire des suites sturmiennes à l'aide du développement en fraction continue usuel. Par exemple, J. Cassaigne a utilisé ce point de vue pour étudier le spectre des valeurs obtenues comme quotients de récurence des suites sturmiennes.

La connexion est rendue explicite à travers la description des suites sturmiennes comme limite d'une composition d'un nombre fini de substitutions, où le développement en fraction continue décrit l'itération des substitutions qui interviennent. Une telle représentation (représentation S-adique) existe plus généralement pour les suites de complexité linéaire. Ce mode d'engendrement algorithmique permet d'associer naturellement à la suite, dans de nombreux cas, un développement en fraction continue généralisée. Un des intérêts de la représentation S-adique est qu'elle permet une description arithmétique des suites étudiées.

Au-delà du cas sturmien, on connait explicitement un développement S-adique pour les suites sturmiennes, pour les systèmes engendrés par les codages binaires de rotations (B. Adamczewski), pour les suites telle que (A. Aberkane) ou pour les systèmes engendrés par certains échanges de trois intervalles (S. Ferenczi, C. Holton, L. Zamboni).

S. Troubetzkoy et H. Bruin (Groningen) ont obtenu un développement S-adique pour un codage d'une famille de translations par morceaux, ce qui a permis à J. Cassaigne d'en calculer la fonction de complexité.

L'approche S-adique peut s'étendre à un cadre multidimensionnel. On peut engendrer un plan discret par limite de composition de substitutions généralisées, itération gouvernée par l'algorithme de Jacobi-Perron. Dans cette étude menée par V. Berthé, P. Arnoux et S. Ito, il ne semble pas que l'algorithme de Jacobi-Perron joue un rôle privilégié. On peut obtenir un résulat similaire avec l'algorithme de Brun. L'algorithme de Brun possède une extension naturelle, dont ils donnent une interprétation géométrique dans ce contexte, afin d'engendrer des fractals de Rauzy pour des paramètres non algébriques. Ceci permet en particulier de donner des exemples de sous-ensembles de tores Td aux propriétés de répartition intéressantes pour les rotation torales (ensembles à restes bornés non triviaux, par exemple).

Arnaldo Nogueira s'intéresse à la question de l'ergodicité des algorithmes homogènes de fractions continues multidimensionnelles et la caractérisation des extensions naturelles. Comme dans le cas de l'action linéaire de SL(n,Z), où il a réussi à caractériser les mesures invariantes, et qui a un lien avec les orbites des algorithmes, les mesures invariantes sur les algorithmes sont infinies, l'origine de la difficulté de la question.

Les travaux de S. Ferenczi, avec C. Holton et L. Zamboni, portent sur les propriétés combinatoires, arithmétiques et dynamiques des échanges d'intervalles. A l'aide d'un algorithme combinatoire dit "hat algorithm'' et d'un nouvel algorithme de fractions continues pour l'approximatiom simultanée de deux nombres, ils généralisent l'interaction rotations / suites sturmiennes, et donnent un critère nécessaire et suffisant pour qu'une suite symbolique soit un codage naturel d'un échange de trois intervalles. On peut alors construire explicitement les codages des orbites des discontinuités, et, en calculant les mots de retour, obtenir une présentation S-adique du système dynamique associé.

4. DYNAMIQUE

4.1. Dynamique topologique

Avec L. Snoha et W. Huang, F. Blanchard a entrepris une étude générale de la taille des ensembles brouillés (scrambled sets) des systèmes dynamiques chaotiques. Ils ont obtenu de nombreux résultats et exemples. J. Cassaigne a construit, avec V. Blondel (Louvain) et C. Nichitiu (Saint-Etienne), un contre-exemple à une conjecture de P. Kurka sur la dynamique des machines de Turing : il existe une machine qui n'a aucune configuration périodique.

P. Arnoux poursuit une collaboration à long terme avec A. Fisher (Sao Paulo) sur une généralisation de la dynamique classique : au lieu de considérer l'action des puissances d'une transformation fixée, ils considèrent l'action d'une suite de transformations. Ils montrent ensuite que, dans un tel cadre, l'hyperbolicité et la propriété d'Anosov ont toujours un sens, et ils étudient le cas particulier des suites d'endomorphismes positifs du tore, qui est directement relié au développement en fraction continue usuel.

4.2. Propriétés statistiques des systèmes dynamiques

S. Troubetzkoy et S. Vaienti ont considéré la convergence à la loi exponentielle des temps de premier retour ainsi que la convergence à la loi de Poisson du nombre de visites. Ils démontrent l'invariance de la distribution du premier temps de retour pour des systèmes induits. Cela eux a permis d'établir la loi exponentielle du premier temps de retour pour une classe très large d'applications unimodales et pour des ensembles de Julia sur la sphère de Riemann.

Thermodynamique des temps de retour : S. Troubetzkoy et S. Vaienti ont étudié une quantité qui mesure la fréquence de retour (local) d'une boule dans elle-même. En comparant boules et cylindres et en utilisant un des leurs précédents résultats (qui affirmait que si l'entropie métrique du système est positive alors le temps de retour local des cylindres croît au moins comme la longueur du cylindre), ils ont obtenu une nouvelle caractérisation des exposants de Lyapunov pour de difféomorphismes de surface en dimension quelconque.

Isométries par morceaux : Une translation d'intervalle (ITM) est une application T d'un intervalle dans lui-même, continue sauf en un nombre fini de points et de pente 1. Elles ont été introduites par Boshernitzan et Kornfeld comme des généralisations des échange d'intervalles. La classe des ITM est intéressante, car chaque application de l'intervalle monotone par morceaux, sans point périodique ni intervalle errant minimale sur son ensemble non errant est topologiquement conjuguée à une ITM. Pour les translations de 3 intervalles qui sont des translations de 2 intervalles sur le cercle, S. Troubetzkoy a défini un procédé d'induction qui permet de comprendre la dynamique et la géométrie de l'attracteur d'une façon complète.

Dans le cas des applications dilatantes de l'intervalle, la présence d'un point fixe indifférent peut faire apparaître naturellement des mesures invariantes absolument continues qui ne sont pas finies. X. Bressaud a construit une famille d'exemples d'applications dilatantes de l'intervalle pour lesquelles peuvent apparaître plus de deux mesures naturelles, à des échelles de temps différentes.

En collaboration avec A. Maass, S. Martinez et J. San Martin, X. Bressaud a donné une construction explicite d'une suite de v.a. independantes identiquement distribuée permettant de reconstruire une filtration standard (au sens de Vershik), dans le cas ou la filtration est engendrée par un processus stationaire à valeurs dans {0,1}.

4.3. Échanges d'intervalles

L'étude ergodique des échanges de trois intervalles se poursuit par l'étude de leurs couplages ; un nouveau problème difficile laissé ouvert par Veech semble abordable, celui de la simplicité : cette notion (qui réduit les possibles mesures invariantes par T x T à une classe complètement décrite) a été justement définie par Veech parce qu'elle semblait devoir être partagée par "la plupart" des échanges d'intervalles, contrairement à la notion, antérieure mais trop forte, d' autocouplages minimaux ; mais ces propriétés n'ont pu être montrées (par del Junco) que pour des exemples très particuliers, qui posèdent d'ailleurs la propriété la plus forte. Ferenczi, avec Holton et Zamboni, a identifié complètement la classe des échanges de trois intervalles qui possèdent la propriété des autocouplages minimaux, en montrant qu'il y a une dichotomie : les échanges de trois intervalles qui sont linéairement récurrents (propriété définie indépendamment par Durand et Boshernitzan) ont des autocouplages minimaux (cette classe correspond à des notions de quotients partiels bornés dans l'approximation), tandis que les autres sont rigides ; certains de ces derniers semblent devoir être simples, offrant les premiers exemples "naturels" de systèmes simples rigides, et fournissant une première réponse partielle positive à la conjecture de Veech.

La généralisation des résultats combinatoires aux échanges de d intervalles construits avec la permutation symètrique (d, d – 1, ...1) est désormais amorcée dans un article de Ferenczi avec L. Zamboni (en cours de rédaction). Il peut ainsi caractériser complètement les codages naturels des orbites, et construire explicitement les d – 1 suites de facteurs bispéciaux, par un algorithme combinatoire et arithmétique additif suivant un graphe général dont les états sont eux-mêmes des graphes de mots (asynchrones, car les mots ne sont plus de même longueur). Il est intéressant de constater que ces graphes, trés similaires aux graphes de l'induction de Rauzy pour les premières valeurs de d, en diffèrent de plus en plus quand le nombre d'intervalles augmente. Bien entendu, la non-unique ergodicité de ces transformations pour d 4 implique que cet algorithme ne converge plus toujours, et il a ainsi des exemples de situations où plusieurs échanges de d intervalles ont la même combinatoire.

L'algorithme d'appproximation défini pour trois intervalles et généralisé récemment est en fait une variante de l'induction de da Rocha, qui est considérée comme une forme duale de l'induction de Rauzy, et préserve aussi une mesure (infinie).

Xavier Bressaud, en collaboration avec G. Poggiaspalla (CPT puis post doc a Londres) essaye de mettre au point une classification des isométries par morceaux bijectives du plan. L'idée centrale est de transposer l'idée naturelle et fructueuse dans le cas des échanges d'intervalle de distinguer un aspect combinatoire (permutation) et un aspect continu (longueur des intervalles).

4.4. Substitutions sur un alphabet infini

Les substitutions sur des alphabets finis, longuement étudiées dans Pytheas Fogg et désormais bien connues, définissent des systèmes dynamiques topologiques compacts, minimaux et uniquement ergodiques sous des conditions facilement réalisées, et des systèmes dynamiques mesurés préservant une mesure finie. La plupart de ces affirmations ne tiennent plus si l'on suppose que l'alphabet est dénombrable. Un des rares exemples déjà étudiés, la substitution dite d'infini Bonacci, définie par , donne un système minimal et uniquement ergodique (en un sens fort dans un contexte non-compact), préservant une mesure finie, et Ferenczi montre que le système obtenu est un codage explicite de l'odomètre dyadique. Il étudie ensuite un exemple bien plus mystérieux, la substitution dite de l'ivrogne par analogie avec la marche aléatoire du même nom, . Dans un article en cours de rédaction, il étudie cet exemple en profondeur et jette les bases d'une théorie générale de ces substitutions : il montre que ce système a une infinité de composantes minimales ; le décalage ne préserve pas de mesure finie, mais de nombreuses mesures infinies dont une "naturelle" pour laquelle le système est l'union de deux systèmes récurrents ; puis nous montrons l'ergodicité et l'entropie nulle de ces deux composantes, en utilisant la substitution dérivée (par induction sur le cylindre 0), définie par , , qui, elle, donne un systéme préservant une mesure finie ergodique.

4.5. Billards

P. Hubert et T. Schmidt ont commencé l'étude de la géométrie des groupes de Veech infiniment engendrés. Certains de ces groupes ont une infinité de cusps nonéquivalents et une infinité de points de Dirichlet non paraboliques. Des questions difficiles résistent comme la compréhension du genre des surfaces de Riemann correspondantes.

P. Hubert et S. Lelièvre ont décrit les disques de Teichmüller de volume fini les plus simples : ceux des surfaces de translation de genre 2 pavées par des petits carreaux et possédant un seul point conique. Cette étude fournit les premiers exemples de disques de Teichmüller de genre positif. Ces résultats ont été généralisé par C. McMullen. P. Hubert et S. Lelièvre ont ensuite essayé de comprendre les propriétés algébriques de ces groupes et ont montré que ce ne sont pas des groupes de congruence.

Les billards polygonaux ont une entropie topologique nulle. Pour décrire plus précisement leur comportement, les spécialistes des billards ont étudié deux objets : le nombre N(n) de diagonales généralisées de longueur inférieure à n et la complexité p(n) du langage engendré par le billard. P. Hubert, J. Cassaigne et S. Troubetzkoy ont découvert un lien entre les deux :

et ils ont calculé l'ordre asymptotique de croissance de p(n) dans des cas particuliers.

La version moderne de l'hypothèse d'ergodicité de Boltzmann, formulée par Sinai réclame l'ergodicité du mouvement de N disques élastiques sur le Tore. Cette hypothèse a été récemment résolue par Simányi. Mais il y a peu de travaux sur un problème encore plus dur, l'ergodicité de disques élastiques dans des domaines avec bords. Le seul résultat dans cette direction est aussi dû a Simányi qui a démontré l'ergodicité de deux disques dans le carré. P. Bálint et S. Troubetzkoy ont développé une variante de l'approche de Simányi qui permet de démontrer l'ergodicité de deux disques dans d'autres polygones, ceux dits intégrables.

Dans les dix dernières années le physiciens ont commencé d'étudier un modèle des billards avec transfert d'énergie au bord via les collisions. Ils ont appelé cela le modèle du rotor. Malgré l'intérêt physique, il y a peu d'articles rigoureux sur le sujet. P. Bálint et S. Troubetzkoy ont étudié ce modèle pour les billards elliptiques, plus précisément pour les billard dans l'anneau ou ils ont donné une description complète de la dynamique.

Une méthode pour déduire des propriétés asymptotiques des systèmes dynamiques consiste à utiliser des approximations par des systèmes ayant de bonnes propriétés. Cette approche a commencé avec l'article de Katok et Stepin en 1967 et a été beaucoup développé dans le domaine des billards. S. Troubetzkoy a donné une nouvelle caractérisation du mélange-faible, qui permets d'étudier cette propriété avec des méthodes d'approximation. Il suit que dans la C1-topologie, le comportement générique des billards est faiblement-mélangeant. En particulier, ce résultat est vrai pour les tables convexes, alors que la théorie KAM implique que les tables suffisamment lisse (C6) ne sont jamais ergodiques.

Un billard dans un polygone est dit de récurrence angulaire si, pour chaque direction, et presque chaque point du polygone, la trajectoire passant par ce point dans cette direction, revient parallèlement avec elle-même. S. Troubetzkoy a trouver une nouvelle classe de polygones de récurrence angulaire. Il y un corollaire important qui décrit la plus grande classe explicite connue de polygones pour lesquels une orbite périodique existe. S. Troubetzkoy a montré qu'on peut améliorer ces résultats sur la récurrence angulaire : l'ensemble des points qui n'est pas récurrent est petit dans le sens de la dimension de capacité inférieure. Il y a un lien intéressant avec la théorie des nombres : pour arriver à ce résultat il a démontré un nouveau théorème sur la dimension de l'ensemble des nombres qui sont bien approximables. En 2004, S. Troubetzkoy a fait une analyse plus fine des orbites non récurrent qui permets de déduire un résultat important : les orbites périodiques sont denses dans l'espace de phase pour quelques polygones irrationnelles.

N. Bedaride s'intéresse au billard dans les polyèdres. Pour étudier l'orbite d'un point dans une direction donnée, on cherche la complexité de la suite symbolique associée. Il a obtenu cette complexité dans le cas des prismes droits à base de polygones pavants. Cette preuve permet de retrouver la complexité dans le cas du cube codé par trois lettres, résultat d'Arnoux, Mauduit, Shiokawa, Tamura.

De manière plus générale il a montré que le billard dans un polyèdre quelconque de Rn était d'entropie nulle.

On peut aussi étudier les orbites périodiques. Le cas le plus connu est celui des triangles aigus. Les trois pieds des hauteurs forment une trajectoire périodique de longueur trois (résultat de Fagnano). Pour trouver des trajectoires périodiques on peut étudier les trajectoires périodiques stables. C'est-à-dire celles qui restent périodiques si le polyèdre change. il a obtenu une condition nécessaire à la stabilité d'un mot périodique. Ceci permet de généraliser le théorème de Fagnano au cas du tétraèdre, en montrant qu'il existait un ouvert dans l'ensemble des tétraèdres ou une trajectoire de longueur combinatoire quatre était périodique. Il obtient aussi des tétraèdres où aucun mot de longueur quatre n'est périodique.

4.6. Systèmes substitutifs, automorphismes de groupes libres, et partitions markoviennes des automorphismes du tore

Xavier Bressaud, avec A. Maass et F. Durand, a montré un critère pour déterminer si un complexe de module 1 est ou non valeur propre (continue ou pas) d'un système adique linéairement récurrent. Des généralisations à des systèmes a-diques moins spécifiques sont en cours.

P. Arnoux a défini, avec S. Ito et Y. Sano (Tsuda), une notion générale d'extension des substitutions en toute dimension, ainsi que d'extension duale dans le cas de déterminant 1 ; Cette notion s'étend sans problème aux automorphismes du groupe libre.

Dans des cas particuliers, Pierre Arnoux, en collaboration avec M. Furukado, E. Harriss, et S. Ito, est ainsi parvenu à généraliser à des cas non Pisot la construction classique du fractal de Rauzy. Ce travail, en cours de rédaction, ouvre de nombreuses possibilités :

La prochaine étape du travail sera de déterminer jusqu'à quel point il est possible de mener cette généralisation. Pour aborder le cadre général, il sera probablement nécessaire de définir une notion de pavage algébrique, et non géométrique.

4.7. Automates Cellulaires

X. Bressaud et P. Tisseur ont construit un exemple d'automate cellulaire sensible aux conditions initiales et d'entropie nulle, répondant ainsi partiellement à une question de Wolfram.

Le travail entamé par F. Blanchard, J. Cervelle et E. Formenti sur la topologie de Besicovitch a été complété de résultats nouveaux. Il est accepté dans TCS sous réserve de modifications. D'autres résultats ont été obtenus depuis par F. Blanchard et E. Formenti.

5. PERSPECTIVES

5.1. Généralisations des développements en fractions continues

Ce thème fondamental est un excellent exemple des interactions qui font l'originalité de notre équipe ; la situation "classique", à savoir la triple interaction entre les rotations, les suites sturmienens et les fractions continues usuelles, sert de base à de nombreuses généralisations. Celles-ci permettent de simplifier un certain nombre de faits déjà connus (en particulier, on s'aperçoit que beaucoup d'études arithmétiques ou dynamiques ont un pendant symbolique) et d'autre part d'attaquer divers problèmes ouverts (par exemple, la notion de fractal de Rauzy permet, en utilisant la dynamique symbolique, d'étudier des problèmes qui ne sont pas directement accessible d'un point de vue purement arithmétique ou géométrique). De manière générale, les algorithmes de fractions continues admettent des interprétations géometriques (en particulier, approximations de droites ou de plans dans des espaces bien choisis, ou clôture convexe des points positifs d'un réseau, appelée polyèdre de Klein), des interprétations dynamiques, comme induction et renormalisation sur une famille paramétrée de systèmes dynamiques, et des interprétations symboliques, comme suites de substitutions ou de substitutions généralisées. On peut aussi, par des travaux en cours, espérer par des arguments de comptage identifier tous les points où l'extension analytique de la série des inverses des puissances s-ièmes des entiers, vue comme une fonction de s, s'annule. Il semble probable que, sauf certains points triviaux, ils soient tous situés sur une même droite verticale.

Nous mentionnerons en particulier les problèmes précis suivants :

5.2. Autour de la complexité des suites

Ce thème interagit avec le précédent, les interprétations symboliques des algorithmes de fractions continues faisant intervenir la notion de complexité ; mais il donne aussi naissance à une problématique propre, en liaison avec des questions d'informatique théorique.

5.3. Autour des billards

Ce thème interagit avec les deux précé\-dents en raison des liens des billards avec les échanges d'intervalles et du rôle de la complexité comme invariant.

5.4. Quelques autres thèmes

Les questions qui suivent ne sont pas non plus isolées, dans la mesure où elles ouvrent la voie à des collaborations extérieures à l'équipe et même interdisciplinaires.

APPENDIX A. DYNAMIQUE ET GROUPES

A1. Synthèse

Depuis début 2001, initiées par la rencontre "Odyssée dynamique'' au Cirm, plusieurs activités de recherche et d'auto-formation scientifiques se sont constituées à Marseille parmi les membres de l'IML et du LATP. Dans un processus autonome, ces activités, au début plutôt discrètes, se sont développées avec une dynamique inattendue et non-programmée. Actuellement, elles ont convergé vers trois pôles visibles (plus une varieté infectieuse d'activités invisibles dans les cafés et salons de thé du centre-ville de Marseille — préférables aux salles académiques plus traditionnelles des établissements universitaires, qui se trouvent majoritairement à la périphérie de la ville) :

  1. Le séminaire BGMA, un groupe de travail sur la thématique très actuelle des marches aléatoires sur les groupes discrets, et de la construction de bords probabilistes.
  2. Le groupe de travail Teichmüller, qui s'est développé en une plateforme pour l'approche systématique entre les cultures "dynamique symbolique'' (IML), "géométrie de groupes'' (LATP) et "espace de Teichmüller et dynamique complexe'' (IML/LATP). Ce groupe de travail a initié plusieurs projets de recherche actuellement actifs.
  3. Le groupe de travail Conjecture de Cannon, qui est une groupe de recherche avec une thématique bien définie et des buts pointus et ambitieux.

La vie scientifique autour de ces activités a largement profité de plusieurs écoles doctorales, ateliers de recherche, et conférences internationales qui ont eu lieu à Marseille. Un colloque important pour le deuxième pôle ci-dessus aura lieu en avril 2005. On discute actuellement des possibilités d'organiser une activité concentrée sur 5 semaines au Cirm, en 2006 ou 2007.

A2. Thèmes de recherche et d'auto-formation

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