Institut de Mathématiques de Luminy

RAPPORT D'ACTIVITÉ

REPRÉSENTATIONS DES GROUPES RÉDUCTIFS

1. FORMES AUTOMORPHES
2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES p-ADIQUES
3. ANALYSE HARMONIQUE
4. ANALYSE HARMONIQUE SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES
5. GROUPES DE POISSON-LIE
6. GROUPES QUANTIQUES
7. SUPERGROUPES
8. MESURES QUASI-INVARIANTES

1. FORMES AUTOMORPHES

L'essentiel de la recherche de J.-P. Labesse a été consacrée à la poursuite du travail commencé avec son livre Asterisque 257, sur la stabilisation de la formule des traces.

Il convenait en particulier de pouvoir généraliser le théorème de Langlands et Kottwitz qui permet de caracteriser les normes globales parmi les normes locales (localement partout) au cas de la formule des traces tordue pour un automorphisme semi-simple quelconque. La principale difficulté technique a été de trouver une définition convenable de la norme dans le cas le plus général, elle doit prendre en compte de la non connexite des centralisateurs tordus des éléments semi-simples. Le cas général s'est avéré très délicat et a nécessité une étude cas par cas des centralisateurs tordus au moyen de la classification des groupes semi-simples et de leurs automorphismes. Ce travail, commencé lors d'un séjour à Princeton à l'IAS en hiver 2001, soumis fin 2002 a été révisé en 2003 et finalement publié au JIMJ fin 2004.

En application des techniques évoquées ci-dessus, J.-P. Labesse a, en collaboration avec Michael Harris (Paris 7), obtenu des résultats sur le changement de base pour certaines représentations de groupes unitaires. Ceci a des applications arithmétiques (existence de fonctions L etc...). Ce travail vient d'être publié dans l'Asian Journal of Math. dans le volume spécial en l'honneur d'Armand Borel.

Par ailleurs, en collaboration avec Werner Mueller (Bonn), il a obtenu une preuve simple, d'une forme légèrement affaiblie, d'une conjecture de Sarnak sur la loi de Weyl qui décrit l'asymptotique des valeurs propres du Laplacien sur les espaces localement symétriques. Ce travail vient également d'être publié dans l'Asian Journal of Math. dans le volume spécial en l'honneur d'Armand Borel.

Enfin, J.-P. Labesse encadre la thèse d'Axel Ferrari depuis septembre 2004. Le sujet est "Théorème de l'indice pour certaines variétés non compactes et formule des traces".

2. REPRÉSENTATIONS DES GROUPES p-ADIQUES

Les travaux de V. Sécherre concernent la classification des représentations lisses complexes des groupes réductifs p-adiques de la forme GLm(D), où D est une algèbre à division sur un corps local non archimédien F, au moyen de la théorie des types élaborée par Bushnell et Kutzko. Ses travaux généralisent donc ceux de Bushnell et Kutzko portant sur les représentations de GLn(F).

La première étape a été la construction des caractères simples attachés à une strate simple de l'algèbre de Lie de GLm(D). Il a effectué cette construction en s'appuyant sur un changement de base non ramifié conjointement à un procédé de descente galoisienne. La trivialité de certains groupes de cohomologie rend possible la démonstration des principales propriétés des caractères simples, à savoir la formule d'entrelacement et la propriété de transfert à d'autres groupes p-adiques.

La seconde étape a été la construction des -extensions attachées à un caractère simple du groupe GLm(D). Cette construction, très technique, repose sur l'emploi de propriétés fines de l'immeuble de Bruhat-Tits. Une fois qu'il fut apparu que la stratégie employée par Bushnell et Kutzko dans le cas de GLn(F) ne pouvait être reprise telle quelle pour des raisons de combinatoire dans l'immeuble, le point décisif a été de comprendre qu'il s'agissait de se ramener, non pas au cas où la facette de l'immeuble sous-jacente à la strate simple est un sommet, mais au cas où c'est une chambre.

Après cela, l'étape suivante est la construction de types simples pour GLm(D) et le calcul de leurs algèbres de Hecke. V. Sécherre a mis au point une notion de décomposition dans une F-algèbre centrale simple généralisant celle de (W,E)-décomposition dont Bushnell et Kutzko usent à profusion. Cette généralisation n'avait pas été nécessaire lors de la construction des caractères simples car le procédé de montée et descente permettait de s'en passer. Ceci dit, elle a permis à V. Sécherre de généraliser le théorème d'approximation des strates pures de Broussous et Grabitz au cas des suites de réseaux, ce qui devrait être utile dans un travail ultérieur concernant la construction de types semi-simples pour GLm(D). D'autre part, V. Sécherre a étudié en détail les relations de cohérence existant entre les diverses -extensions du groupe GLm(D), relations qui se sont révélées plus intriquées que dans le cas de GLn(F). Cette étude des relations de cohérence, conjointement à la notion de (W,E)-décomposition généralisée, devrait permettre de mettre un terme au calcul des algèbres de Hecke des types simples de GLm(D).

3. ANALYSE HARMONIQUE

P. Delorme et S. Souaifi (Strasbourg) ont établi, grace à des résultats de la thèse de Souaifi, un Théorème du sous-quotient pour les modules de Harish-Chandra, non nécessairement irréductibles.

Ce théorème a permis à P. Delorme d'achever une nouvelle preuve du Théorème de Paley-Wiener d'Arthur, pour les groupes réductifs réels. Cette preuve repose notamment sur la théorie des K-types minimaux de D. Vogan. Un résultat pour les fonctions non nécessairement K-finies est établi.

J. Carmona et P. Delorme ont commencé à travailler en direction d'un Théorème de Paley-Wiener invariant tordu par une involution pour les groupes réductifs réels. Les résultats obtenus permettent notamment de traiter les involutions complexes de groupes complexes.

P. Blanc et P. Delorme ont étudié les vecteurs H-invariants du dual de séries principales généralisées de groupes réductifs p-adiques, où H est le groupe des points fixes d'une involution rationnelle. L'outil principal est l'homologie des représentations lisses, dont les principales propriétés sont établies.

P. Delorme et E. Opdam (Amsterdam) ont introduit et étudié l'algèbre de Schwartz d'une algèbre de Hecke affine. La transformée de Fourier de cette algèbre a été caractérisée. Cela repose sur la formule de Plancherel d'Opdam et sur des résultats de Lusztig, qui permettent de développer une théorie du terme constant et de former les paquets d'ondes. Cette caractérisation de la transformée de Fourier a d'importantes conséquences, notamment un Théorème du commutant à la Harish-Chandra. Dans un travail en cours, P. Delorme et E. Opdam introduisent et étudient les R-groupes.

4. ANALYSE HARMONIQUE SUR LES ESPACES SYMÉTRIQUES

J. Carmona étudie les coefficients extrémaux des développements asymptotiques des fonctions propres des opérateurs différentiels invariants sur un espace symétrique réductif. Plus précisément, on montre que certaines propriétés de leur support caractérisent leur croissance .

5. GROUPES DE POISSON-LIE

C. Klimcik et G. Valent ont effectué une étude systématique de la renormalisabilité à une boucle de tous les -modèles du type Poisson-Lie dont la cible est deux-dimensionelle. Ils ont trouvé que tous ces modèles sont renormalisables et, un plus, le flot des constantes de couplage est compatible avec la dualité de Poisson-Lie.

C. Klimcik et S. Parkhomenko ont résolu le probllème de modes zéro pour la dualité de Poisson-Lie pour un cas spécial quand le double de Drinfeld est du type de Lu-Weinstrein. Ils ont montré que la dualité de Poisson-Lie peut être étendue à inclure les configurations de cordes dont le moment non-Abélien est distinct d'unité. La configuration duale vit dans le sousgroupe compact maximal du double a sa monodromie prend valeurs dans l'alcôve de Weyl.

Le travail le plus volumineux de C. Klimcik concerne la généralisation du modèle de WZW. Il y est démontré que le modèle WZW peut être déformé de façon que son algèbre de symétrie devient q-déformée. Le modèle nouveau ainsi construit est structurelment basé sur les r-matrices dynamiques elliptiques et peut donc être appelé le modèle de WZW quasitriangulaire. Sa structure explique entre autres aussi l'equation q-déformée de Knizhnik-Zamolodchikov.

6. GROUPES QUANTIQUES

C. Klimcik a construit une action de double quantique de Uq(su(2)) sur la sphère quantique de Podles et il l'a interpreté comme un version quantique de la formule projective qui exprime l'action des transformations conformes globales sur la sphére de Riemann ordinaire.

7. SUPERGROUPES

F. Pellegrini a generalisé la decomposition d'Iwasawa pour les supergroupes du type . La première composante est la forme réelle compacte SU(m,n) construite sur la base d'article et la deuxième composante est la version "super" du groupe An .

8. MESURES QUASI-INVARIANTES

Il s'agit plus précisément de recherches sur les relations entre mesures quasi-invariantes et représentations de certains groupes de dimension infinie.

A. Kossiak et R. Zekri se sont intéressés, dans un travail précédent, au groupe de dimension infinie , limite inductive stricte des groupes Bn, de matrices réelles, triangulaires supérieures inversibles. Ils ont étudié les représentations analogues de la représentation régulière, sur des limites inductive des espaces L2(Bn) Ces limites inductives peuvent être décrites comme produit tensoriel infini d'espaces hilbertiens, le long d'un vecteur . Le choix du vecteur détermine certaines propriétés de l'algèbre de Von Neumann M, du groupe , agissant sur cet espace. Ils ont établi, que si correspond à un certain type de mesures gaussienne, M est un facteur. Poursuivant ce programme, R. Zekri a montré que ce facteur est alors de type III. Dans une situation plus générale, il a établi un critère sur le vecteur , pour que M soit semi finie. Il a aussi construit, avec une méthode différente, d'autres représentations factorielles semi finies de . (Cette méthode s'inspire des travaux de D. Voiculescu.)

A. Kossiak et R. Zekri ont aussi étudié un analogue des opérateurs pseudo différentiels sur l'espace euclidien de dimension infinie . Ils ont défini une notion d'indice adaptée pour cela, et établi une extension des opérateurs pseudo différentiels en dimension infinie. Ils ont montré que cette extension est homotope à un produit infini (vu de manière adéquate) d'éléments de K-homologie.

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