Institut de Mathématiques de Luminy

RAPPORT D'ACTIVITÉ

SINGULARITÉS EN GÉOMÉTRIE ET TOPOLOGIE

1. INTRODUCTION 
2. DU COMPLEXE ...
 

2.1.   Classes caractéristiques des variétés singulières
2.2.   Théorème de lefschetz difficile
2.3.   Topologie des singularités non isolées
2.4.   Conjecture de Lê D. T

3. ... AU RÉEL
 

3.1.   Homologie d'intersection et homologie de Hochschild
3.2.   Algèbres de fonctions sur les espaces singuliers
3.3.   Germes analytiques réels et fibration de Milnor : un exemple
3.4.   Entrelacs de plombage fibrés et germes analytiques réels

1. INTRODUCTION

Les Singularités apparaissent dans tous les domaines des Mathématiques, et aussi des autres Sciences. Elles apparaissent sous deux aspects : singularités d'espaces, points où se "concentre l'énergie", et singularités d'applications, où se produisent les "changements de comportement".

Les recherches dans le premier aspect, singularités d'espaces, consistent à trouver le bon point de vue pour généraliser aux espaces singuliers les résultats "bien connus" pour les espaces lisses : classes caractéristiques, théorèmes de Poincaré, de Lefschetz, formule de l'indice etc... Dans le second aspect, singularités d'applications, on cherche davantage à étudier la topologie des singularités qu'elles soient complexes ou réelles.

2. DU COMPLEXE...

2.1. Classes caractéristiques des variétés singulières

L'un des ingrédients essentiels de la construction des classes caractéristiques des variétés (analytiques complexes) singulières est l'obstruction d'Euler locale. Avec Lê D.T. et J. Seade, J.-P. Brasselet avait montré que cet invariant satisfait une formule de type Lefschetz (relativement à l'intersection par une section hyperplane générique). Avec D. Massey, A.J. Parameswaran et J. Seade, il a étendu ce résultat aux sections obtenues à l'aide d'une fonction holomorphe à singularité isolée.

Les classes de Milnor, différences entre classes de Schwartz-MacPherson et classes de Fulton ont fait l'objet de nombreuses publications ces dernières années. J.-P. Brasselet a montré dans un cas particulier et conjecturé une expression des classes de Milnor en termes de variétés polaires. Avec P. Aluffi, il a démontré la conjecture dans le cas des variétés singulières appelées "nice". Avec J. Seade et T. Suwa, il a donné une expression géométrique des classes de Fulton-Johnson, dans un cas déterminé.

La théorie de Hirzebruch unifie, dans le cas de variétés lisses, les théories de classes de Chern, de Todd et du L-genre, en les associant à des séries multiplicatives. Avec Jörg Schürmann et Shoji Yokura, J.-P. Brasselet a construit une théorie de classes caractéristiques motiviques, laquelle unifie les classes de Schwartz-MacPherson, de Todd et le L-genre, dans le cas de variétés singulières. On peut en attendre un Théorème de Riemann-Roch singulier et de nombreuses applications, en particulier pour la théorie des classes de Chern bivariantes.

2.2. Théorème de lefschetz difficile

Avec G.Barthel, K.H. Fieseler et L. Kaup, J.-P. Brasselet poursuit l'étude des faisceaux pervers sur des éventails non nécessairement rationnels et des polynômes de Poincaré, dans le même contexte, ceci dans le but de montrer un théorème de Lefschetz difficile.

2.3. Topologie des singularités non isolées

En collaboration avec F. Michel (Toulouse), A. Pichon a étudié la topologie du bord Lt de la fibre de Milnor des germes analytiques

à singularités non isolées. Le résultat essentiel est que Lt est une variété de Waldhausen. Il est donc caractérisé à homéomorphisme près par son graphe de plombage pondéré. Ce résultat conduit à deux intéressants corollaires : d'une part une caractérisation topologique des singularités isolées - plus précisément, un germe analytique est à singularité isolée si et seulement si le bord de sa fibre de Milnor est homéomorphe au link de la normalisée de . D'autre part, une généralisation au cas non isolé du théorème de Mumford qui caractérise les singularités isolées dont le bord est la 3-sphère. Ses deux corollaires y sont annoncés. Un article plus détaillé assortis de nombreux exemples explicites est en préparation. Par ailleurs, un autre article en collaboration avec F. Michel et Claude Weber, également en cours d'écriture, donne la classification complète des singularités

non isolées dont le bord de la fibre de Milnor est un espace lenticulaire.

2.4. Conjecture de Lê D. T

En collaboration avec I. Luengo (Université Complutense de Madrid), A. Pichon a décrit l'action topologique de la normalisation sur le link des singularités de surfaces complexes, puis appliqué ce résultat en démontrant la conjecture de Lê D. T. (l'entrelacs est une sphère si et seulement si la singularité est équisingulière unibranche) pour les singularités obtenues par revêtement cyclique ramifé sur un germe de courbe. Par ailleurs, A. Pichon et I. Luengo ont aussi démontré cette conjecture pour les singularités d'hypersurfaces en l'origine de d'équations

,

et sont deux polynômes homogènes de degrés quelconques. Par ailleurs, ils ont donné une description explicite de la topologie du link de ces singularités d'hypersurfaces. Un article est en préparation.

3. ... AU RÉEL

3.1. Homologie d'intersection et homologie de Hochschild

Avec A. Legrand, J.-P. Brasselet a eu l'idée de considérer, sur les variétés singulières stratifiées, une algèbre de fonctions "bornées", admettant des pôles d'ordres déterminés lorsqu'on s'approche des strates. D'une part, ces fonctions génèrent un complexe de formes différentielles relié à l'homologie de Hochschild de l'algèbre en question. D'autre part, la cohomologie du complexe est isomorphe à l'homologie d'intersection de la variété pour une perversité donnée et est lié à l'homologie cyclique de la même algèbre. Ces résultats, généralisant ceux de Connes (pour les variétés lisses) apparaissent comme une pièce du puzzle qu'est la démonstration d'un théorème de l'indice pour les variétés singulières.

3.2. Algèbres de fonctions sur les espaces singuliers

Avec A. Legrand et N. Teleman d'une part, et avec M. Pflaum d'autre part, J.-P. Brasselet a essayé de comprendre quelles sont les "bonnes fonctions" définies sur une variété singulière. Il s'agit des fonctions définissant une algèbre dont l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique jouissent de propriétés convenables, en particulier permettent de retrouver l'homologie d'intersection de la variété. Il en est ainsi des fonctions "contrôlées" et des fonctions de Whitney.

3.3. Germes analytiques réels et fibration de Milnor : un exemple

Avec J. Seade, A. Pichon a étudié la topologie de la fibration de Milnor d'une famille de germes analytiques réels (un cas encore très peu étudié pour lequel Milnor a laissé de nombreuses questions ouvertes). Le résultat principal est que cette famille d'exemples est loin d'être triviale dans le sens que les fibrations obtenues ne sont pas topologiquement équivalentes à des fibrations de Milnor provenant de germes holomorphes.

3.4. Entrelacs de plombage fibrés et germes analytiques réels

A. Pichon a poursuivi cette étude en étudiant une famille encore plus large de germes analytiques réels : les germes

,

sont deux germes holomorphes. Elle a montré que ces germes permettent de réaliser toutes les fibrations des entrelacs de plombages fibrés de S3. Un article en collaboration avec J. Seade généralisant ceci à des germes

où (X,0) est une singularité normale de surface complexe est en cours d'écriture.

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