Institut de Mathématiques de Luminy

RAPPORT D'ACTIVITÉ

ARITHMÉTIQUE ET THÉORIE DE L'INFORMATION

1. INTRODUCTION 
2. THEORIE DES NOMBRES
  2.1.   La constante d'Euler-Kronecker-Ihara
2.2.   Nombres de classes de corps CM
2.3.   Nombres de classes de corps quartiques imaginaires
2.4.   Zéros des fonctions L et formes toriques
2.5.   Séries d'Eisenstein et intégration motivique
2.6.   Approximation diophantienne

2.7.   Voiles et polyèdres de Klein
3. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
  3.1.   Variétés de Schubert
3.2.   Codes et surfaces
3.3.   Courbes singulières sur les corps finis
3.4.   Jacobiennes des quartiques de Ciani
3.5.   Modules de Drinfeld
3.6.   
Graphes
4. CODAGE ET CRYPTOGRAPHIE
  4.1.   Rédactions d'ouvrages
4.2.   Multiplication rapide sur les corps finis
4.3.   Courbes maximalement non-linéaires
4.4.   Fonctions booléennes en codage et en cryptographie
4.5.   Poids des codes de Reed-Muller généralisés

4.6.   Variétés abéliennes et cryptographie

1. INTRODUCTION

L'équipe Arithmétique et théorie de l'Information est née de la rencontre entre des chercheurs travaillant à l'interface entre la Théorie des nombres, la Géométrie algébrique et leurs applications à la Théorie de l'Information, notamment aux codes correcteurs d'erreurs, ainsi qu'à la cryptographie, ce qui identifie les trois thèmes sur lesquels travaille l'équipe.

Ces trois thèmes interagissent bien sûr entre eux.

La fonction zêta des corps de nombres exprime la répartition des nombres premiers et de manière tout a fait parallèle, la fonction zêta des variétés fournit des indications sur le nombre de leurs points. Les questions qui se posent alors, comme l'hypothèse de Riemann (démontrée dans le cas de la fonction zêta des variétés), jouent un rôle majeur dans les thèmes de travail de l'équipe, aussi bien en théorie des nombres, qu'en géométrie algébrique.

Les codes correcteurs sont d'usage constant non seulement dans le traitement des erreurs, mais plus généralement dans tout traitement linéaire de l'information. Les variétés, les courbes et les bornes explicites satisfaites par le nombre de leurs points jouent un rôle crucial dans la détermination des bornes limites de la théorie de l'information. La cryptographie, qui traite les messages dans un but de confidentialité, a bien souvent des méthodes analogues à celles des codes, car ces deux aspects de la théorie de l'information consistent à traiter des messages numériques.

Un des buts de l'équipe est de dégager les principes géométriques utilisés en approximation diophantienne. Ce sujet classique a un aspect qualitatif, qui consiste à définir les meilleures approximations, et un aspect quantitatif, matérialisé par la méthode des formes linéaires en logarithmes, où la géométrie algébrique intervient.

2. THEORIE DES NOMBRES

2.1. La constante d'Euler-Kronecker-Ihara

Soit K un corps global, c'est-à-dire une extension algébrique finie du corps Q des nombres rationnels, ou bien d'un corps de fonctions rationnelles à une variable sur un corps fini. Soitsa fonction zêta. Considérons son développement de Laurent pour s = 1 :

Généralisant la constante classique d'Euler, Y. Ihara a introduit et étudié la constante .

Michel Tsfasman a étudié le comportement de cette constantequand le discriminant (respectivement le genre) tends vers l'infini, dans le contexte de ses travaux avec Serge Vladut sur les corps globaux infinis et le théorème de Brauer-Siegel généralisé, et sur les propriétés asymptotiques des fonctions zêta.

Les résultats du premier article lui donnent facilement des bonnes bornes inférieures sur le quotient. En particulier, pour les corps de nombres, et en supposant l'hypothèse de Riemann généralisée, il démontre :

Puis il produit des exemples de tours de corps de classes, montrant que

2.2. Nombres de classes de corps CM

S. Louboutin obtient les limites inférieures pour les nombres de classes relatifs de certains corps CM normaux K qui dépendent du comportement dans K des nombres premiers rationnels pSS est ensemble donné de nombres premiers.

Ces nouvelles limites inférieures pour les nombres de classes relatifs sont d'importance essentielle pour résoudre, par exemple, le problème du groupe de classes d'exposant deux pour le corps CM quartique non-normal. Il en déduit des résultatsà la Brauer-Siegel sur le comportement asymptotique des nombres de classes relatifs de corps CM.

Il améliore les bornes supérieures des valeurs au point 1 des fonctions , pour de caractères de Dirichlet primitifs. Les bornes qu'il obtient dépendent du comportement desur les nombres premiers dans un ensemble donné.

Il développe une méthode rigoureuse et raisonnablement rapide pour calculer les valeurs exactesde la fonction zêta de Dedekindde K aux entiers négatifs.

Il démontre, en supposant l'hypothèse de Riemann généralisée, que les exposants des groupes des classes d'idéaux des corps CM d'un degré donné tendent vers l'infini avec le valeur absolue de leurs discriminants.

2.3. Nombres de classes de corps quartiques imaginaires

Y. Aubry s'est penché sur des problèmes de nombre de classes dans les corps de fonctions totalement imaginaires qui sont extensions de corps réels. Il a établi l'équivalence entre le problème du nombre de classes relatif égal à 1 dans une extension quartique non galoisienne imaginaire et celui dans une extension octique galoisienne imaginaire diédrale. Il a également établi une caractérisation des corps quartiques imaginaires non galoisiens de nombre de classes relatif impair ainsi qu'un moyen de calcul des caractères apparaissant dans ces extensions quadratiques.

2.4. Zéros des fonctions L et formes toriques

Dans un travail précédent, à partir d'un corps de nombres K de degré n, Gilles Lachaud a défini un tore maximal T de G = GLn . Si est un caractère du groupe des classes d'idèles de K, satisfaisant des conditions adéquates, les formes toriques pour sont les fonctions sur G(Q) \ G(A), dont le coefficient de Fourier correspondant à par rapport au sous-groupe induit par T est nul. L'hypothèse de Riemann pour est équivalente à des conditions portant sur certains espaces de formes toriques, construits à partir des séries d'Eisenstein. Enfin, il construit un espace de Hilbert et un opérateur auto-adjoint sur cet espace, dont le spectre est égal à l'ensemble des zéros de sur la droite critique.

Ces derniers temps, il a fait le lien entre les outils utilisés et les diviseurs de Picard-Arakelov sur les corps de nombres, exploitant des idées de Don Zagier.

2.5. Séries d'Eisenstein et intégration motivique

Le travail précédent a conduit G. Lachaud à étudier la situation analogue dans le cas des corps de fonctions sur une courbe algébrique définie sur un corps fini. Bien que dans ce cas, l'hypothèse de Riemann soit connue, ce sujet ne manque pas d'intérêt (c'est en tous cas l'opinion d'Alain Connes). Ceci passe par l'étude des séries d'Eisenstein de rang 1 sur les corps de fonctions. Il s'est rapidement rendu compte que les propriétés de ces séries dans ce cas se généralisent immédiatement au cadre beaucoup plus général des séries d'Eisenstein géométriques définies sur le champ algébrique des classes d'équivalence de fibrés vectoriels de rang n sur une courbe algébrique de genre g définie sur un corps k. Pour cela, on utilise l'intégration motivique (Kapranov), autrement dit la théorie des invariants additifs (Denef-Loeser).

2.6. Approximation diophantienne

Inégalités diophantiennes, points algébriques sur les courbes.

Michel Laurent a établi des "inégalités de Liouville'' sur une courbe algébrique plane. Plus précisément, il a donné une estimation de la distance globale entre deux points algébriques quelconques d'une courbe algébrique en terme de leurs hauteurs.

On en déduit des énoncés effectifs très précis du théorème d'irréductibilité de Hilbert. Ces inégalités de Liouville sont aussi la clé de la méthode de Runge qui permet de traiter certains types d'équations diophantiennes. Il a obtenu ainsi des majorations polynomiales très fines pour les solutions entières de certaines équations superelliptiques, ou plus généralement des équations à variables séparées de la forme.

Il fournit une majoration uniforme de la hauteur d'un point d'une courbe algébrique qui est rationnel sur un corps totalement réel arbitraire. Des hypothèses restrictives sont bien sûr nécessaires. Ce résultat peut être considéré comme une extension de la méthode de Runge, qui concerne habituellement des points rationnels sur Q au cas de points rationnels sur un corps totalement réel arbitraire.

Approximation rationnelle simultanée et approximation algébrique.

Soit un nombre réel transcendant et n un entier 2. On note la borne supérieure des exposants tels que pour tout Q suffisamment grand, il existe un entier q vérifiant

.

Michel Laurent a établi la majoration

,

améliorant ainsi une estimation précédente due à Davenport et à Schmidt. Comme corollaire, on obtient le meilleur exposant d'approximation actuellement connu d'un nombre réel arbitraire par des entiers algébriques de degré donné n.

Exposants d'approximation et combinatoire des mots.

D. Roy a démontré que les nombres réels dont le développement en fractions continues est décrit par le mot de Fibonacci possèdent une propriété d'approximation rationnelle uniforme de (1,,2) extrémale, à savoir que . Michel Laurent généralise sa méthode aux nombres réels qui sont des fractions continues sturmiennes. A cet effet, il donne une description explicite des palindromes initiaux des mots sturmiens, ce qui semble être un résultat nouveau de combinatoire des mots. La formule obtenue pour les six exposants d'approximation considérés, fait intervenir une fonction de "l'angle'' du mot sturmien, dont le spectre des valeurs est fort compliqué. Cette fonction , qui intervient aussi dans des calculs de complexité de mots, a été étudiée par J. Cassaigne. Michel Laurent donne également de nouvelles informations sur son spectre.

Michel Laurent étend la définition des exposants uniformes introduits précédemment, dans le cadre général d'un système de formes linéaires à coefficients réels. Il obtient ainsi une intéressante version quantitative du classique théorème de densité de Kronecker.

Minorations de formes linéaires en deux logarithmes.

Dans sa thèse, Nicolas Gouillon développe des minorations fines de formes linéaires archimédiennes en deux logarithmes de nombres algébriques, qui constituent l'outil le plus communément utilisé dans la résolution effective de certaines classes d'équations diophantiennes classiques.

2.7. Voiles et polyèdres de Klein

L'ensemble de Klein Kl A d'un ensemble convexe est l'enveloppe convexe des points entiers contenus dans A. Les questions principales qui se posent sont les suivantes :

- Kl A est-il fermé ?
- L'adhérence de Kl A est-elle un polyèdre généralisé ?

La recherche de critères clairs permettant de répondre à ces questions a amené Gilles Lachaud à une refonte de la théorie des ensembles convexes non bornés et non fermés, en introduisant un certain nombre d'outils nouveaux : ensembles convexes additifs, bord éclairé, dualité et jauge de Klein, etc.

En fait, c'est le théorème de Kronecker qui permet de trancher dans les questions ci-dessus. à ce sujet, il a pu reformuler les théorèmes de transfert standard de la théorie de l'approximation diophantienne dans le cadre des polyèdres de Klein.

Le traitement de ces questions a été facilitée par le résultat suivant, où est un ensemble convexe fermé non vide : pour qu'un point soit isolé dans l'ensemble des points extrémaux de A, il faut et il suffit que le cône de sommet engendré par A soit fermé et saillant.

Gilles Lachaud rédige un livre Voiles et Polyèdres de Klein de 200 pages environ.

3. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE

3.1. Variétés de Schubert

Michel Tsfasman, en collaboration avec Sudhir Ghorpade, considère les codes correcteurs d'erreur linéaire associés à des variétés projectives définies sur un corps fini. Le problème de déterminer les paramètres de tels codes mène souvent à des questions intéressantes et difficiles en combinatoire et en géométrie algébrique. Ceci est illustré par des codes associés aux variétés de Schubert dans les Grassmanniennes, appelé les codes de Schubert, qui ont été récemment étudiés. Les paramètres tels que la longueur, la dimension et la distance minimale de ces codes sont connus seulement dans des cas spéciaux. Une limite supérieure pour la distance minimale est connue et on conjecture que cette limite est réalisée. Ils donnent des formules explicites pour la longueur et la dimension des codes de Schubert quelconque et ils prouvent cette conjecture pour les codes associés aux diviseurs de Schubert.

3.2. Codes et surfaces

Les codes construits à l'aide des surfaces de Deligne - Lusztig

Pour obtenir les paramètres de tels codes, François Rodier a d'abord voulu étudier divers exemples afin de déterminer les problèmes rencontrés, et les caractéristiques des codes ainsi construits. L'étude des variétés de Deligne-Lusztig l'a amené à produire un schéma général de construction de codes à partir d'un groupe réductif fini G (du type de Steinberg) et d'un sous-groupe parabolique P. Il a étudié plus précisément les codes liés à une surface de type 2A4 ou les codes associés à des variétés G / P. François Rodier a calculé les paramètres de ces code ainsi que tous les poids et le nombre des mots de code de poids minimal.

Cas d'une surface hermitienne

Ce travail est réalisé par un étudiant en thèse, Frédéric Edoukou, sous la direction de François Rodier. On veut préciser les paramètres des codes construits à l'aide des surfaces hermitiennes. Pour cela, il faut étudier le nombre de points d'intersection d'une surface hermitienne H avec les surfaces de degré h donné. On dispose d'une majoration, donné par G. Lachaud, mais elle n'est pas optimale, comme le montre des calculs faits dans un cas particulier sur ordinateur. Une conjecture de A. Sørensen donnerait un résultat meilleur et on cherche à l'établir. Ils utilisent la borne de Weil et les améliorations qu'en ont faites Yves Aubry et Marc Perret pour le cas des courbes non absolument irréductibles et non lisses pour étudier le nombre de points de l'intersection.

3.3. Courbes singulières sur les corps finis

Yves Aubry, en collaboration avec Marc Perret, a étudié le comportement des fonctions zêta des courbes dans un revêtement (plat) de courbes algébriques projectives absolument irréductibles. Ils ont montré la divisibilité de ces fonctions zêta dans un revêtement de courbes algébriques projectives absolument irréductibles singulières ainsi que dans le cas plus général de courbes supposées seulement connexes, que l'on peut interpréter comme un analogue de la conjecture d'holomorphie d'Artin sur les fonctions zêta de Dedekind des corps de nombres. Ils ont ensuite déterminé explicitement les polynômes caractéristiques de l'endomorphisme de Frobenius sur les groupes de cohomologie étale adiques de courbes connexes, qui, combinée à la divisibilité précédente, permet de donner une estimation de la différence du nombre de points rationnels dans un revêtement de courbes connexes.

3.4. Jacobiennes des quartiques de Ciani

Les quartiques de Ciani sont les quartiques ternaires dont le groupe d'automorphismes contient le Vierergruppe de Klein V4 = (Z / 2Z)2. Ces quartiques ont une Jacobienne complètement décomposable, c'est-à-dire isomorphe au produit de trois courbes elliptiques.

Plus précisément, la situation est la suivante. On note Sym(k) l'espace des matrices symétriques inversibles

telles que . A une telle matrice on associe la quartique lisse QM d'équation homogène

.

et on note Q(k) l'ensemble des quartiques de cette forme. D'autre part, on associe à M les trois courbes elliptiques suivantes :

,

et on note A(M) = E1 x E2 x E3 la variété abélienne produit. Chaque courbe Ei admet un point rationnel distinct de l'origine, et (E1)(E2)(E3) est un carré. On note A(k) l'ensemble des variétés abéliennes de cette forme. On a un diagramme commutatif

où Cof est l'application qui envoie une matrice sur la matrice de ses cofacteurs, et où J est l'application qui envoie une courbe sur sa jacobienne.

Gilles Lachaud et Alain Barichard ont démontré que l'ensemble des classes d'isogénies sur k des Jacobiennes des courbes de Q(k) est égal à l'ensemble des classes d'isogénies sur k des variétés de A2(k), où A2(k) est l'ensemble des variétés abéliennes de A(k) où det M est un carré.

Ceci permet d'étudier les quartiques dont la Jacobienne est le cube d'une courbe de Legendre, et d'appliquer ces résultats à la quartique de Klein, dont ils ont d'ailleurs calculé la fonction zêta pour tout corps fini de caractéristique 7.

 

3.5. Modules de Drinfeld

Les modules de Drinfeld sont des objets algébriques analogues aux courbes elliptiques sur les corps des nombres et sur les corps finis, obtenus par la réduction modulo une place non-archimédienne. Dans cette direction, pour un module de Drinfeld de rang 2, Mohamed Saadbouh, élève de S. Vladut, donne un analogue du théorème de Weil, du théorème de Deuring-Waterhouse, et un analogue du travail de S. Vladut sur la cyclicité de telles structures algébriques.

Redha Samet, lui aussi élève de S. Vladut, a exploité une analogie profonde entre corps de fonctions d'une variable sur un corps fini et corps de nombres. Il a obtenu des résultats concernant des critères de maximalité des anneaux d'endomorphisme des modules de Drinfeld de rang r avec des exemples d'anneaux d'endomorphisme non maximaux. Il s'est intéressé ensuite aux modules de Drinfeld de rang 2 où il a calculé le nombre des classes d'isogénies. Il a donné la condition pour la maximalité des anneaux d'endomorphisme et la structure des modules des points rationnels. Enfin il a étudié les classes d'isomorphismes des modules de Drinfeld de rang 2 et a calculé le nombre des sous-modules non cycliques de points rationnels.

3.6. Graphes

Serge Vladut étudie une nouvelle méthode de produire des "expanding graphs'' (pas forcément de Ramanujan) en utilisant les codes géométriques sur les courbes modulaires. Ce travail est en cours.

4. CODAGE ET CRYPTOGRAPHIE

4.1. Rédactions d'ouvrages

Cours de cryptographie

Pierre Barthelemy, Robert Rolland et Pascal Véron sont en train de rédiger un cours de cryptographie (niveau 3ième cycle) qui doit paraître fin 2005.

Codes géométriques algébriques

M. Tsfasman et S. Vladut, en collaboration avec D. Nogin, ont fini de rédiger un ouvrage en russe, dont le titre est : "Algebraic Geometry Codes: Basic Notions'' (503 pp.). L'édition anglaise est en préparation.

4.2. Multiplication rapide sur les corps finis

Savoir multiplier rapidement dans les corps finis est un problème important pour les implémentations des algorithmes utilisés en cryptographie par exemple. Les algorithmes utilisant les bases normales ne sont pas tout à fait satisfaisants. Le problème peut se diviser en deux parties : minimiser le nombre d'opérations bilinéaires, puis minimiser ensuite le nombre d'opérations linéaires. Robert Rolland et Stéphane Ballet se sont depuis quelques années attachés à résoudre le premier problème. L'algorithme qu'ils ont mis en place s'appuie sur des méthodes d'interpolation sur des places de degré un et de degré deux d'un corps de fonctions algébriques. Ils commencent maintenant à s'intéresser au second.

Nicolas Arnaud, sous la direction de M. Tsfasman, améliore l'algorithme de multiplication rapide en utilisant sur les tours de corps de Garcia et Stitchenoth une nouvelle méthode due à C. Xing.

4.3. Courbes maximalement non-linéaires

Les courbes maximalement non-linéaires interviennent dans l'étude des codes correcteurs et en cryptographie. De nombreux problèmes ne sont pas encore résolus. Robert Rolland s'intéresse au problème du rayon de recouvrement des codes de Reed-Muller sur un corps fini de caractéristique quelconque.

4.4. Fonctions booléennes en codage et en cryptographie

Aussi bien dans la théorie des codes correcteurs d'erreurs (codes de Reed-Muller) qu'en cryptographie (systèmes de chiffrement à clef secrète), il est nécessaire de pouvoir disposer de fonctions booléennes sur l'espace ayant une grande non-linéarité.

François Rodier a ainsi trouvé une évaluation de la moyenne des degrés de non-linéarité des fonctions booléennes . Le résultat qu'il a démontré implique en outre que presque toutes les fonctions booléennes ont un non-linéarité voisine d'une même valeur, résultat qui avait déjà été trouvé dans des études statistiques, mais sans explications. Plus précisément, il a obtenu le résultat suivant : quand le nombre de variables m de tend vers l'infini, on a

pour presque toute fonction booléenne (à valeurs dans = 1).

Ce problème consistait à étudier la norme dans des transformées de Fourier de fonctions booléennes. Il s'est aussi attaché à étudier un problème plus simple, sur la norme dans L4 des transformée de Fourier de fonctions booléennes, qui est aussi la "somme des carrés'', reliée au critère de propagation. Il a ainsi montré le même résultat dans ce cas : presque toutes les fonctions ont une normes dans L4 voisine d'une même valeur.

Il a étudié dans quelle conditions on peut appliquer les théorèmes de grandes déviations en probabilités pour étudier les fonctions booléennes ayant la plus grande non-linéarité. Il a montré que sous certaine conditions, cela permettrait de montrer une forme affaiblie de la conjecture de Patterson et Wiedemann :

pour booléenne (à valeurs dans 1).

Enfin, il a essayé d'étudier des fonctions booléennes explicites, construites à l'aide de la trace de polynômes sur . Cela l'a mené à la considération de sommes exponentielles à plusieurs variables. Ce problème rejoint la détermination de l'amplitude spectrale des fonctions puissance , qui est un vieux problème ouvert de différents points de vue : codes cycliques à deux poids, corrélation des séquences et fonctions booléennes.

4.5. Poids des codes de Reed-Muller généralisés

C'est le travail d'un étudiant en thèse, Adnen Sboui, sous la direction de François Rodier.

Un des problèmes non résolus sur les codes de Reed et Muller généralisés est l'étude des poids, qui mesurent en particulier l'efficacité du code et dont la connaissance sert dans les procédures de décodage. On est loin de pouvoir caractériser tous les poids de ces codes. On connaît cependant le poids minimum des mots de code (la distance minimale).

Un premier pas serait de déterminer le deuxième poids des mots de code, c'est-à-dire le poids qui est juste au dessus de la distance minimale. C'est ce qui est fait dans un article récent par Jean Pierre Cherdieu et Robert Rolland, mais sous certaines restrictions, par exemple quand le nombre q d'éléments de l'alphabet définissant le code est assez grand.

Par des méthodes de combinatoire et de géométrie des incidences ils ont obtenu des résultats pour , ce qui lève une grande partie des restrictions de Cherdieu et Rolland.

4.6. Variétés abéliennes et cryptographie

Serge Vladut a étudié des exemples du problème du logarithme discret sur des variétés abéliennes construites à l'aide du foncteur de restriction de Weil.

Il a réalisé une étude du comportement statistique de l'ordre d'un point aléatoire sur corps fini (important pour la cryptographie elliptique). Des résultats quasi-définitifs ont été obtenus. Un article en cours de rédaction.

Gilles Lachaud et Alain Barichard ont étudiés des exemples du problème du logarithme discret sur des formes de la quartique de Klein.

 

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