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Institut de Mathématiques de Luminy

Singularités
Rapport scientifique 1999-2002

Les Singularités apparaissent dans tous les domaines de Mathématiques, et aussi des autres Sciences. Elles apparaissent sous deux aspects : singularités d’espaces, points où se "concentre l'énergie", et singularités d'applications, où se produisent les "changements de comportement".

Les recherches dans le premier aspect consistent à trouver le bon point de vue pour généraliser aux espaces singuliers les résultats "bien connus" pour les espaces lisses : classes caractéristiques, théorèmes de Poincaré, de Lefschetz, formule de l'indice etc... Dans le second aspect, on cherche davantage à étudier la topologie des singularités qu’elles soient complexes ou réelles.

Du complexe…

L'un des ingrédients essentiel de la construction des classes caractéristiques des variétés (analytiques complexes) singulières est l'obstruction d’Euler locale. Avec Lê D.T. et J. Seade, J.P. Brasselet a montré [4] que cet invariant satisfait une formule de type Lefschetz (i.e. relativement à l'intersection par une section hyperplane générique). Avec A.J. Parameswaran et J. Seade, il a étendu [21] ce résultat aux sections obtenues à l'aide d'une fonction holomorphe à singularité isolée.

Les classes de Milnor, définies comme différence entre classes de Schwartz-MacPherson et classes de Fulton ont fait l'objet de nombreuses publications ces dernières années. Ainsi, avec D. Lehmann, J. Seade et T. Suwa, J.P. Brasselet en a donné une définition géométrique [1], [10]. Il a montré dans un cas particulier et conjecturé une expression des classes de Milnor en termes de variétés polaires [8]. Avec P. Aluffi, il a démontré la conjecture dans le cas des variétés singulières appelées "nice" [12].

Les classes (de Chern) bivariantes sont une version paramétrée des classes caractéristiques. Si l’existence en a été montrée par J.P. Brasselet en 1990, l'unicité reste un problème ouvert. Il s'agit d'une étape importante pour la démonstration d'un théorème de RiemannRoch bivariant (i.e. paramétré), l'article en commun avec S. Yokura [5] en est une contribution.

Avec G. Barthel, K.H. Fieseler et L. Kaup, J.P. Brasselet poursuit l'étude des faisceaux pervers sur des éventails non nécessairement rationnels, ceci dans le but de montrer, dans ce contexte, un théorème de Lefschetz difficile [2],[9].

En collaboration avec I. Luengo (Université Complutense de Madrid), A. Pichon a décrit l'action topologique de la normalisation sur le link des singularités de surfaces complexes, puis appliqué ce résultat en donnant une description explicite de la topologie du link des singularités d'hypersurfaces en l'origine de C3 d'équations f1(x, y, z) + f2(x, y, z) = 0, où f1 et f2 sont deux polynômes homogènes de degrés quelconques. A. Pichon et I. Luengo ont aussi travaillé sur la caractérisation des singularités de surfaces dont le link est une sphère. Ils ont démontré la conjecture de Lê D. T. (l’entrelacs est une sphère si et seulement si la singularité est équisingulière unibranche) pour plusieurs grandes familles de singularités en utilisant les résultats de [13]. Ces résultats font l'objet d'un article en préparation [24].

En collaboration avec F. Michel (Toulouse), A. Pichon a démontré qu'un germe analytique
f : (C3, 0) -> (C, 0) est à singularité isolée si et seulement si le bord de sa fibre de Milnor est homéomorphe au link de f -1(0) [25].

... au réel

Avec A. Legrand, J.P. Brasselet a eu l'idée de considérer [19], sur les variétés singulières stratifiées, une algèbre de fonctions "bornées", admettant des pôles d'ordres déterminés lorsqu'on s'approche des strates. D'une part, ces fonctions génèrent un complexe de formes différentielles relié à l'homologie de Hochschild de l'algèbre en question. D'autre part, la cohomologie du complexe est isomorphe à l'homologie d'intersection de la variété pour une perversité donnée et est lié à l'homologie cyclique de la même algèbre. Ces résultats, généralisant ceux de Connes (pour les variétés lisses) apparaissent comme une pièce du puzzle qu’est la démonstration d'un théorème de l'indice pour les variétés singulières.

Avec A. Legrand et N. Teleman d'une part [3], et avec M. Pflaum d'autre part [22], J.P. Brasselet a essayé de comprendre quelles sont les "bonnes fonctions" définies sur une variété singulière. Il s'agit des fonctions définissant une algèbre dont l'homologie de Hochschild et l'homologie cyclique jouissent de propriétés convenables, en particulier permettent de retrouver l'homologie d'intersection de la variété. Il en est ainsi des fonctions "contrôlées" [S8], des fonctions de Whitney [S4]...

A. Pichon a étudié, avec C. Weber, les familles dégénérées de courbes complexes de genre fixé. Ils ont donné une interprétation topologique des travaux de M.Artin et G.Winters en termes de fibrations sur le cercle de variétés de Waldhausen mettant ainsi en évidence leurs relations avec des travaux plus récents de Y. Matsumoto et J. Montesinos.

Une partie de ces résultats est publiée dans [13], la partie plus récente fait l'objet de [27].

A. Pichon et J. Seade ont étudié la topologie d'une famille de germes analytiques réels f : (R4, 0) -> (R2, 0) qui donnent lieu à une fibration à la Milnor. Ils ont en particulier démontré que l’entrelacs associé à un germe f de cette famille est isotope à un entrelacs algébrique complexe, mais que f n’est pas topologiquement équivalent à un germe holomorphe ([23]). Dans [26], Anne Pichon étudie la topologie des germes du type fgf, g : (C2, 0) -> (C, 0) sont des germes holomorphes. En particulier, elle démontre que tout multi-entrelacs de Waldhausen dans S3, avec poids ± 1 et qui fibre se réalise topologiquement par un germe de ce type.

La thèse de L. Ladurelli (ATER) concerne la géométrie des espaces de représentations. Elle a étudié de manière explicite la relation entre homologie d'intersection et invariant de Casson. Celui-ci est un invariant des variétés fermées de dimension 3. De façon plus précise, il compte les points d'intersection entre les espaces de SU(2)-représentations des groupes fondamentaux des composantes d'une décomposition de Heegaard de la variété. Ces espaces de représentations sont vus comme des cycles dans un espace (singulier) de représentations d'un groupe fondamental. Une étude fine de la géométrie des singularités de cet espace a permis de donner une caractérisation de la géométrie locale au voisinage des strates d'une "bonne" stratification en termes de géométrie symplectique.

Travaux effectués par les boursiers

Adriana Ciampella (Post-doc TMR, Napoli) a étudié la possibilité de définir les opérations de Steenrod, de façon systématique en homologie cyclique. Le but est de définir des opérations de Steenrod dans le cas singulier (généralisant en cela les travaux de Loday et Karoubi).

Pasquale Zito (Post-doc TMR, Roma) a travaillé sur les applications de la Géométrie analytique à la physique, plus précisément, sur les C*-algèbres et Homologie cyclique et sur les définitions des faisceaux pervers.

Jörg Schürman (Post-doc TMR, Hambourg) a poursuivi ses travaux sur le Théorème de Riemann-Roch-Verdier et sur les transformations de Grothendieck. Il a réalisé pendant son séjour plusieurs prépublications.

Markus Pflaum (Post-doc TMR, Berlin) a étudié les algèbres des fonctions de Whitney sur les espaces singuliers et leur relation avec l'homologie de Hochschild et l'homologie d'intersection. Il a écrit une prépublication avec Jean-Paul Brasselet [22].

Programme de recherche

Le programme de travail de l'équipe de singularités concerne essentiellement quatre thèmes:

Le premier thème de recherche concerne les travaux de Milnor : Anne Pichon poursuit, avec J. Seade, la recherche de généralisations du théorème de fibration de Milnor, d'une part à des germes analytiques réels à singularités non isolées dont le lieu singulier est contenu dans le lieu des zéros, d'autre part à des germes analytiques réels dont la source n'est pas nécessairement Rn mais un espace analytique réel.

Avec F. Michel, Anne Pichon étudie une généralisation du théorème de Mumford aux singularités non isolées en termes de bord de la fibre de Milnor, ainsi que la conjecture de D. T. Lê, qui permettrait de caractériser les singularités non isolées de surface dont l'entrelacs est homéomorphe à la sphere S3.

Les classes de Milnor sont des classes caractéristiques généralisant les nombres de Milnor. On en cherche une définition géométrique en termes de variétés polaires.

Les résultats obtenus par Jean-Paul Brasselet et P. Aluffi devraient permettre de résoudre ce problème et ainsi de mieux comprendre la géométrie des variétés singulières.

Ce thème est étroitement lié à celui de la monodromie :

Suite à ses précédents résultats, Anne Pichon s'intéresse à la monodromie de germes réels à singularités isolées dont l'entrelacs n'est pas de Waldhausen (cf les exemples de B. Perron et L. Rudolph). La difficulté réside dans le fait que les monodromies ne sont pas quasi-périodiques, comme dans le cas Waldhausen, mais comportent des composantes pseudo-Anosov.

Par ailleurs, Anne Pichon étudie avec C. Weber la monodromie d'une application polynômiale autour de deux valeurs spéciales.

Le troisième thème concerne la généralisation des résultats de A. Connes aux variétés singulières. Dans ce cadre, avec A. Legrand, Jean-Paul Brasselet compte exploiter le résultat qu'ils ont obtenu et reliant l'homologie cyclique et l'homologie d'intersection. Ils en attendent, en particulier des applications en termes de théorème d'indice pour les variétés singulières.

Avec G. Barthel, K. Fieseler et L. Kaup, Jean-Paul Brasselet a donné une définition de faisceaux pervers "combinatoires" sur les éventails (non nécessairement rationnels). Cette définition a récemment permis de démontrer un théorème de Lefschetz "dur" par K. Karu. Dans ce cadre, nous souhaitons développer les applications géométriques du théorème de Lefschetz, telles que nous les avons décrites dans un précédent article.

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