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Sommaire

[ Algèbres d'opérateurs ] [ Groupes réductifs et formes automorphes ] [ Projets de Recherches ]

Institut de Mathématiques de Luminy


Géométrie non commutative
Rapport scientifique 1999-2002

L’équipe a deux directions principales de recherche : les algèbres d'opérateurs, les groupes réductifs et les formes automorphes (et les liens de ces deux sujets à la physique théorique). Une liste partielle des intérêts courants des membres de l'équipe de Géometrie Non Commutative de l’IML est : la K-théorie opératorielle et la cohomologie cyclique, la théorie des sous-facteurs, plusieurs aspects mathématiques de la théorie quantique des champs (groupes quantiques, théories conformes, algèbre de Connes-Kreimer), les groupes de Poisson-Lie, l’analyse harmonique sur les groupes réductifs et les formes automorphes.

Algèbres d'opérateurs

Conjecture de Baum-Connes pour les groupes agissant proprement sur un espace de Hilbert.

En collaboration avec N. Higson, G. Kasparov a prouvé qu’un groupe localement compact agissant proprement (au sens métrique), affine-isométriquement sur un espace de Hilbert vérifie la conjecture de Baum-Connes à coefficients. En particulier, on a obtenu les conjectures de Novikov et de Baum-Connes pour tous les groupes moyennables. La majeure partie de ce travail a été faite en 1996-1998, la rédaction finale a été achevée en 1999-2000.

Conjecture de Novikov pour les groupes agissant proprement sur des espaces boliques.

En collaboration avec G. Skandalis, G. Kasparov a démontré la conjecture de Novikov à coefficients pour les groupes discrets agissant proprement et par isométries sur des espaces métriques faiblement géodésiques, faiblement boliques et de géométrie grossière bornée. Cette classe de groupes contient, par exemple, les groupes hyperboliques au sens de Gromov, ainsi que les sous-groupes discrets des groupes de Lie réels et les groupes opérants proprement et isométriquement soit sur des immeubles de Bruhat-Tits uniformément localement finis, soit sur des variétés riemanniennes complètes simplement connexes à courbure non positive bornée. Il est très probable que cette classe de groupes soit en fait beaucoup plus large. La plus grande partie de ce travail a été faite en 1992-1998, la rédaction finale a été achevée en 1999-2001.

K-théorie de groupes arithmétiques.

Pour les sous-groupes arithmétiques G de groupes de Lie semi-simples G de rang 2 (comme G =SL(3,Z) par exemple), il n’existe pour l'instant aucune méthode pour calculer la K-théorie de leurs C*-algèbres C* (G ) et C*red(G ). La conjecture de Baum-Connes n’est pas encore démontrée même pour G =SL(3,Z). Notons que la conjecture de Baum-Connes affirme que chaque élément du groupe K0(C*red (G )) est l'indice d'un opérateur elliptique G -invariant sur une variété G -compacte. Néanmoins il existe des opérateurs sur des variétés non G -compactes très naturellement reliés aux groupes arithmétiques qui permettent d'obtenir des éléments des groupes K0(C*(G )) et K0(C*red(G )).

G. Kasparov a construit certains éléments des groupes K0(C*(G )) et K0(C*red(G ))pour G =SL3(Z). L'idée de la construction est d'utiliser l'opérateur de Dirac sur un fibré sur G/K associé à un module de Clifford sur l'algèbre de Clifford Cliff(Te(G/K) muni d'action isométrique de K, où K est un sous-groupe maximal compact de G, Te(G/K) est l’espace cotangent de G/K au point (K). Comme l'action de G sur G/K est propre et isométrique, il existe un module de Hilbert sur C*(G ) associé à ce fibré sur G/K et l'opérateur de Dirac agit comme un multiplicateur non borné sur ce module de Hilbert. Mais comme la variété G/K n'est pas G -compacte, il faut modifier l'opérateur de Dirac à l'infini pour que cet opérateur soit de Fredholm. L'indice de cet opérateur donne un élément des groupes K0(C*(G )) et K0(C*red(G )).

L'idée de la modification de l'opérateur de Dirac est similaire au cas d'une variété à bord. (Pour des variétés à bord cette idée appartient principalement à E. Leichtnam, P. Piazza, voir "Spectral sections and higher Atiyah-Patodi-Singer index theory on Galois coverings", GAFA, 8 (1998), 17-58.) Dans le cas d'une variété à bord, il faut modifier la restriction de l'opérateur de Dirac sur le bord pour le faire inversible au bord. Le cas du groupe SL3(Z) est plus compliqué. On utilise la compactification de Borel-Serre de l’espace symétrique SL3(R)/K (qui est une variété à coins) à la place d' une variété à bord.

Il est très intéressant maintenant de comprendre si les éléments construits sont dans l'image de l'homomorpisme de Baum-Connes. En plus de l'intérêt que ces éléments présentent pour la conjecture de Baum-Connes, ils sont bien reliés aux "multilicités classiques des réprésentations integrables" de G dans le spectre cuspidal de G/G . (Ces "multilicités classiques" sont définies même pour des groupes sans représentations intégrables par l'homomorphisme de Gelfand - Pyatetski-Shapiro K0(C*(G)) -> K0(K(0L2(G/G ))). Ceci peut permettre d'obtenir l'information sur ces multiplicités classiques par des méthodes topologiques.

Suites exactes en K-théorie bivariante équivariante pour des actions moyennables de groupes localement compacts.

D. Elmorsli, étudiant en thèse de G. Kasparov et R. Zekri, a démontré qu’en K-théorie bivariante équivariante, il existe des suites exactes si au moins un des deux arguments de groupes KK est une C*-algèbre moyennable. Une algèbre moyennable est définie comme une algèbre propre (l'action propre sur un espace localement compact est remplacée par l'action moyennable).

Foncteurs d'homotopie des ind-algèbres.

Un sujet principal de la géométrie non-commutative est l'étude des catégories d'algèbres topologiques par des théories d'homologie. L’exemple principal est la K-théorie, qui possède les propriétés caractéristiques suivantes : invariance sous homotopies continues, invariance sous déformations infinitésimales, invariance de Morita, stabilité sous passage aux sousalgèbres fermées sous calcul fonctionnel holomorphe, et compatibilité avec limites directes topologiques. M. Puschnigg s'intéresse à la construction des foncteurs d'homologie possèdant ces mêmes propriétés.

M. Puschnigg a développé une théorie des déformations universelles des diagrammes d'algèbres topologiques et une théorie d'homotopie stable pour ces diagrammes. Il montre que le foncteur de la catégorie des algèbres de Banach vers la catégorie d'homotopie stable qui associe à une algèbre l'anneau des matrices stables sur sa déformation universelle, possède les propriétés mentionnées ci-dessus. De plus, il est universel parmi tous ces foncteurs (dans un sens convenable).

Ce résultat peut être utilisé pour construire des foncteurs du type cherché. Si on modifie l'homologie cyclique périodique de Connes et Tsygan de manière telle qu’elle devienne un foncteur qui se factorise par la catégorie d'homotopie stable, on trouve la cohomologie cyclique locale introduite par M. Puschnigg. Contrairement à l'homologie cyclique périodique, elle possède donc toutes les propriétés mentionnées ci-dessus. Il est prévu d'étudier sous le même point de vue le K-bifoncteur des algèbres localement convexes introduit par Cuntz. Une modification, qui se factorise par la catégorie d'homotopie stable, donnerait une théorie intermédiaire entre les théories de Cuntz et de Kasparov. On espère qu’un tel foncteur permettra de clarifier la relation entre les théories de Cuntz et de Kasparov.

Caractères de Chern-Connes des modules de Fredholm non-bornés.

Le travail de M. Puschnigg sur la conjecture de Kadison-Kaplansky pour les groupes hyperboliques suggère d'appliquer les méthodes de ce travail, en particulier le caractère de Chern-Connes bivariant équivariant, pour obtenir une solution (partielle) d'une conjecture de Connes. Cette conjecture affirme que le caractère d'un certain module de Fredholm canonique sur la C*-algèbre d’un réseau uniforme dans un groupe de Lie semisimple est égal à la trace canonique. Pour démontrer cette conjecture (dans le cas de rang réel un) il faut comparer et en fait identifier plusieurs types des caractères de Chern-Connes des modules de Fredholm qui sont a priori différents. M. Puschnigg a construit en toute généralité un caractère bivariante naturel des bimodules de Kasparov non bornés. Il coïncide avec le caractère d'un module non-borné finiment sommable, introduit par Connes dans les années 80, et avec le caractère bivariant des bimodules de Kasparov bornés, construit auparavant par Puschnigg. M. Puschnigg a aussi démontré que ce dernier est compatible avec le caractère bivariant équivariant sous l’opération des produits croisés en K-théorie bivariante. Il reste encore à identifier le caractère en cohomologie cyclique entière des modules thêta-sommables introduit par Connes avec le caractère bivariant des modules non-bornés généraux pour achever la démonstration de la conjecture de Connes.

Algèbres de von Neumann, sous-groupes quantiques et théorie conforme des champs au bord.

En utilisant l'opération de fusion de Connes en algèbres de von Neumann, A. Wassermann a montré il y a dix ans comment associer une catégorie unitaire tressée à la série discrète d'un groupe de lacets à un niveau fixé. D’autre part chaque sous-facteur fournit une catégorie unitaire.

Après son installation à Luminy en octobre 1999, A. Wassermann a introduit la notion de sous-groupe quantique pour les catégories unitaires. C’est une *-algèbre unifère et ergodique dans la catégorie. Dans le cas des groupes de lacets, il a démontré que de telles algèbres abéliennes correspondent exactement aux extensions unitaires des algèbres à vertex associées, généralisations naturelles des "inclusions conformes". Il a aussi démontré comment construire les autres sous-groupes quantiques à partir des automorphismes de la catégorie originale. Ces deux constructions peuvent être utilisées pour expliciter tous les opérateurs qui figurent dans une théorie conforme des champs au bord.

Avec Hans Wenzl, il a démontré un théorème de reconstruction, tout à fait analogue à son résultat avec David Kazhdan, qui permet de reconnaître l’existence de tels automorphismes. Avec Vaughan Jones, A. Wassermann a montré comment définir un sous-groupe quantique en utilisant les données combinatoires de la mécanique statistique, en particulier les carrés commutants que Jones a introduit dans les années quatre-vingt pour chaque diagramme de Dynkin. Suivant une question posée par Michael Freedman, il a trouvé une démonstration d'un résultat de rigidité, annoncé sans démonstration par Ocneanu il y a longtemps.

Avec Étienne Blanchard, il a trouvé des applications de cette méthode aux algèbres de Hopf et leurs généralisations, dues à Drinfeld. En particulier ils ont trouvé une correspondance entre algèbres de Hopf généralisées et sous-groupes quantiques associés à l'algèbre de Hopf originale.

Dans le même esprit, A. Wassermann a trouvé une description très simple et efficace du double quantique en généralisant légèrement la notion de sous-groupe quantique.

C*-algèbres, groupes quantiques affines et l'analyse des modèles exactement résolubles sur réseaux.

Il y a vingt-cinq ans Rodney Baxter a proposé sa méthode de matrice de transfert au coin pour les modèles ABF, définis par Andrews, lui et Forrester. Il a conjecturé que, peut-être en utilisant des méthodes C*-algèbriques, on pourrait démontrer que le spectre de l'opérateur hamiltonien associé est discret, positif et indépendant du paramètre de déformation du modèle. Sans résoudre la conjecture de Baxter, l'école de Kyoto a montré comment utiliser un groupe quantique affine pour donner une solution heuristique du modèle.

A. Wassermann a associé directement au modèle une C*-algèbre avec dérivation. A. Wassermann a démontré que la dérivation engendre un flot périodique (d'où un spectre discret). Il faut chercher des états fondamentaux de ce flot. Quand q = 0, la théorie des bases cristallines permet de calculer explicitement ces états - il n'y en a qu'un nombre fini - et de diagonaliser l'opérateur hamiltonien. A. Wassermann a démontré que chacun de ces états admet un unique prolongement analytique à q 0. Ce prolongement est fourni par une construction explicite du système dynamique non commutatif à travers des opérateurs à vertex quantiques.

Actions extérieures de groupes de Lie compactes sur les algèbres de von Neumann.

La classification des actions des groupes cycliques sur les algèbres de von Neumann a été effectuée par Alain Connes. Ses travaux ont été prolongés par Vaughan Jones aux groupes finis.

Sorin Popa et A. Wassermann, utilisant la classification des sous-facteurs moyennables, ont généralisé ces résultats aux actions ordinaires de groupes de Lie compactes. Peter Teichner et Stefan Stolz ont commencé un programme qui a comme but l’utilisation de la théorie de fusion de Connes pour décrire les structures "string" en théorie de cohomologie elliptique. Leurs travaux ont fait suggérer à A. Wassermann que la construction des sous-facteurs due à Jones et lui devait donner lieu à un homomorphisme naturel d'un groupe de Lie compact simplement connexe G dans le groupe des automorphismes d'un facteur modulo des automorphismes intérieurs. J'ai introduit des invariants de ces "G-noyaux" : un 3-cocycle borélien et une action de G sur le flot des poids du facteur. Si le facteur est stable par tensorisation par une action minimale, A. Wassermann a démontré que ces invariants sont complets et chaque invariant est réalisé. Les exemples construits à partir des groupes de lacets sont stables, grâce à une version quantifiée de la théorie de Brown-Douglas-Fillmore lisse.

Avec Stolz et Teichner, A. Wassermann propose un analogue de la conjecture de Connes-Kasparov pour un groupe de lacets. On veut comprendre comment utiliser la fusion de Connes pour construire des objets sur une surface de Riemann. Tout cela est relié à cette structure "string".

Mesures quasiinvariantes et représentations de certains groupes de dimension infinie.

A. Kossiak a construit, pour un groupe G, de dimension infinie, certains analogues de la représentation régulière, en utilisant des mesures G-quasi invariantes sur un groupe qui contient G comme sous groupe dense. Une telle mesure n’est pas en général unique, et il n’y a pas de choix de mesure canonique. Un problème consiste à classifier ces mesures par les propriétés de la représentation correspondante. A. Kossiak et R. Zekri se sont intéressés au groupe G = B0, limite inductive stricte des groupes Bn, de matrices (réelles) inversibles, triangulaires supérieures, de dimension n. Ils ont étudié les propriétés de l'algèbre de von Neumann de la représentation régulière de B0, pour divers choix de mesures admissibles, identifié le commutant de cette algèbre, et obtenu des conditions suffisantes pour que la représentation soit factorielle. Ceci complète des résultats antérieurs de Kossiak qui dégageait des critères d'irréductibilité pour ce type de représentations. Ils travaillent actuellement sur la caractérisation de ces facteurs (finis ou infinis, type,…), ainsi que sur des variantes de ces constructions, dans le cas p-adique.

A. Kossiak et R. Zekri ont aussi étudié un analogue des opérateurs pseudo différentiels sur l’espace euclidien de dimension infinie R (Les groupes du type B0 ont une action canonique sur cet espace). Ils ont défini une notion d'indice adaptée pour cela, et établi une extension des opérateurs pseudo différentiels en dimension infinie.

Groupes réductifs et formes automorphes

Approximations discrètes de variétés complexes et de leurs fibrés vectoriels.

L’étude de ces approximations a permis à C. Klimcik de construire une méthode nouvelle de régularisation non perturbative de la théorie des champs en utilisant la géométrie non commutative. Cette méthode peut être appliquée même pour les théories supersymétriques de jauge et pour les théories avec la supersymétrie étendue . Le point essentiel de cette construction réside dans la représentation de générateurs de supergroupes de supersymétrie comme les champs vectoriels superhamiltoniens. Ceci permet de donner un sens aux transformations de supersymétrie aussi pour les supervariétés déformées (ou quantifiées) et construire des Lagrangiens supersymétriques non commutatifs. Les théories de champs ainsi construites sont apparues plus récemment aussi dans le contexte de la théorie de cordes grâce aux travaux d'Alekseev, Recknagel et Schomerus.

Groupes de Poisson-Lie et modèles WZW.

C. Klimcik et S. Parkhomenko ont démontré que les modèles jaugés de type WZW peuvent être interprétés dans le cadre de la dualité du type Poisson-Lie. Cette dernière est une variante de la symétrie miroir liée à la théorie de triples de Manin. Les variétés qui forment la paire miroir sont les espaces homogènes D/G et D/KD est un double de Drinfeld et G et K sont ses sous-groupes Poisson-Lie mutuallement duaux.

C. Klimcik a découvert une liaison non triviale entre les formules de Kontsevich et Verlinde liée a la théorie des paires de Manin. Il a associé canoniquement un modèle de la théorie de jauge (Poisson-Lie s -modèle de Poisson-Lie) à chaque paire de Manin. Les fonctions de corrélation sur le bord de ce modèle sont données par la formule de Kontsevich et la fonction de partition par la formule de Verlinde.

C. Klimcik et T. Strobl ont généralisé la géométrie de Poisson. En effet, ils ont construit un s -modèle topologique basé sur un couple (, ), où est un bivecteur et une 3-forme. Si = 0, on récupère le s -modèle de Poisson-Lie. Les idées de ce travail ont été ensuite développées par plusieurs chercheurs, notamment Weinstein et Severa, qui ont découvert une liaison non triviale de notre construction avec la théorie d'algèbroids de Courant et de structures de Dirac.

Le travail le plus volumineux de C. Klimcik concerne la généralisation du modèle de WZW. Il y est démontré que le modèle WZW peut être déformé de façon que son algèbre de symétrie devienne q-déformée. Le modèle nouveau ainsi construit est structurellement basé sur les r-matrices dynamiques elliptiques et peut donc être appelé le modèle de WZW quasitriangulaire. Sa structure explique, entre autres, aussi l’équation q-déformée de Knizhnik-Zamolodchikov. Cet article servira comme base d'une monographie, que C. Klimcik a l’intention d'écrire sur la théorie conforme des champs q-déformée.

Triples de Manin.

P. Delorme, répondant a une question de C. Klimcik, a étudié les triples de Manin dans une algèbre de Lie réductive complexe, de dimension finie. Le problème consiste à étudier les bigèbres de Lie dont le double de Drinfeld est une algèbre de Lie réductive donnée.

Par triple de Manin, on entend la donnée d'une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée et de deux sous-algèbres isotropes supplémentaires. Une classification complète est donnée. P. Delorme a montré comment associer à un triple de Manin dans une algèbre réductive non-commutative, un triple de Manin pour une sous-algèbre strictement plus petite. Cela donne un puissant moyen de récurrence. La classification est donnée en termes de ce que nous appelons données de Belavin-Drinfeld généralisées. En effet, le cas où l'algèbre de Lie est de la forme g x g, où g est simple, la forme se restreint au premier facteur (resp. deuxième facteur) à la forme de Killing de g (resp son opposé) et où les 2 facteurs sont orthogonaux, et la première sous-algèbre isotrope est la diagonale, a été étudié par A. Belavin et V. Drinfeld, ce qui les a conduit à la classification de certaines r-matrices. Les méthodes de P. Delorme et celles de Belavin et Drinfeld sont très différentes.

Analyse harmonique sur les groupes réductifs.

K. Ankabout a étudié les relations d'orthogonalités de Schur généralisées pour les espaces symétriques réductifs. Il étudie l'intégrale du produit de deux coefficients de représentations sphériques, tempérées pour l’espace symétrique, "génériques", multiplié par un facteur, dépendant de e , qui tend vers 1 quand e tend vers 0. Cette intégrale, multipliée par une puissance de e , liée à la dimension du support de la mesure de Plancherel au voisinage des représentations considérées, à une limite qui peut être non nulle et qu’Ankabout a explicité. La formulation des résultats conduit à espérer de telles relations pour d'autres groupes et espaces homogènes.

S. Souaifi a étudié l’espace des fonctions K-finies et D(G/H)-finies sur un espace symétrique réductif G/H, où D(G/H) est l'algèbre des opérateurs invariants à gauche par G, sur G/H. Dans le cas de la droite réelle, cet espace est engendré par les exponentielles polynomes. Celles-ci sont obtenues par dérivation par rapport au paramètre l des eil x. Souaifi montre que ceci se généralise aux espaces symétriques réductifs, en remplaçant les exponentielles par les intégrales d’Eisenstein. L'idée de départ est d'adapter des idées de J. Franke sur les formes automorphes, en introduisant notamment une filtration de l’espace des fonctions considérées, annulées par une puissance d'un idéal maximal de D(G=H). S. Souaifi a, à cette occasion, établi des résultats sur les développements asymptotiques des fonctions et familles de fonctions considérées.

P. Delorme a fait un travail analogue pour les fonctions lisses sur un groupe p-adique qui sont finies sous le centre de Bernstein. Il obtient une description des sous-quotients de la filtration à l'aide de représentations induites.

Asymptotiques et croissance des fonctions propres sur un espace symétrique.

Toute fonction propre sous l'algèbre des opérateurs différentiels invariants sur un espace riemannien symétrique et vérifiant certaines conditions de croissance possèdent des développements asymptotiques au sens des distributions (E. van den Ban, H. Schlichtkrull). Soit l un paramètre de Harish-Chandra du caractère de l'algèbre des opérateurs différentiels invariants. J. Carmona a étudié les termes du développement asymptotique correspondant aux éléments de l'orbite de l sous le groupe de Weyl, notamment les propriétés de support. Ce faisant, il a donné une nouvelle démonstration d'un critère de tempérance, dû à T. Oshima, pour les fonctions sur un espace symétrique réductif, donné en terme de sa transformée de Flensted-Jensen sur l’espace riemannien symétrique dual. De même ces résultats peuvent être utilisés pour l'étude par T. Oshima et T. Matsuki des séries discrètes sur les espaces symétriques réductifs. Cela permet d’éviter complètement la théorie des hyperfonctions dans la démonstration de la formule de Plancherel.

Dans un travail précédent, J. Carmona a construit des plongements explicites des séries discrètes dans les séries principales. On sait que ces plongements donnent un moyen standard pour calculer les facteurs de Plancherel.

Transformation de Fourier Hypergéométrique.

Les fonctions hypergéométriques, Fl ,m, associées à un système de racines, ont été introduites par G. Heckman et E. Opdam. Elles apparaissent comme solutions, invariantes sous le groupe de Weyl, d'un système différentiel sur l’espace sous-jacent à ce système de racines, dit système différentiel hypergéométrique, qui a des singularités le long des murs. Ce système dépend entre autres d'un paramètre l , élément du dual complexifié de l’espace du système de racines et d'une multiplicité m, qui est juste une fonction invariante par le groupe de Weyl sur les racines.

On fixe une multiplicité, m, avec quelques restrictions techniques. En remplaçant les fonctions exponentielles el par les fonctions Fl ,m et en introduisant une mesure µm ayant une densité, qui dépend de la multiplicité, par rapport à la mesure de Lebesgue, il est possible de définir une transformation de Fourier hypergéométrique pour les fonctions Cc à support compact. Cette transformation et son image ont été étudiées par E. Opdam.

P. Delorme a étendu cette transformation à un espace plus gros, i.e. à un espace de Schwartz naturel introduit par M. Tinfou. Pour cela il a raffiné des estimations d’Opdam sur les fonctions hypergéométriques, en montrant que celles-ci sont tempérées, au sens de notre nouvel espace de Schwartz, si le paramètre l est imaginaire pur. Il a également déterminé l'image de l’espace de Schwartz par cette transformation de Fourier hypergéométrique.

Le schéma général est commun avec les travaux de J. Carmona et P. Delorme sur la formule de Plancherel pour les espaces symétriques réductifs : théorie du terme constant, paquets d'onde, troncature, calcul de la transformation de Fourier d’un paquet d’onde. Mais on rencontre, ce faisant des difficultés nouvelles : le paramètre l pour lequel Fl ,m est de carré intégrable par rapport à µm peut ne pas être régulier par rapport aux éléments du groupe de Weyl. Cela oblige à des modifications sensibles dans la théorie du terme constant des familles de fonctions tempérées, pour lesquelles de nouvelles idées sont requises. En particulier, des opérateurs aux différences, liés à des réflexions et aux opérateurs de Dunkl, jouent le rôle tenus par certains éléments du radical unipotent d'une sous-algèbre parabolique dans la théorie du terme constant d'Harish-Chandrah, pour les groupes semi-simples.

Stabilisation de la formule des traces.

Depuis son rattachement partiel au laboratoire (en 2002), l’essentiel de la recherche de Labesse a été consacrée à la poursuite du programme de travail commencé avec son livre Asterisque 257, sur la stabilisation de la formule des traces. Dans ce livre, il se limitait, pour de nombreuses questions techniques, au cas du changement de base pour les groupes réductifs quelconques.

Il était souhaitable d'étendre les méthodes de ce livre au cas de la formule des traces tordue pour un automorphisme semi-simple quelconque en vue de stabiliser tous les termes elliptiques de la formule des traces tordue dans sa forme la plus générale.

Une première extension a concerné la définition de mesures de Tamagawa sur certains groupes non connexes. Ce travail ayant été mené à bien, il convenait de pouvoir généraliser le théorème de Langlands et Kottwitz qui permet de caractériser les normes globales parmi les normes locales (localement partout). La principale difficulté technique a été de trouver une définition convenable de la norme dans le cas général qui tienne compte de la non-connexité des centralisateurs tordus des éléments semi-simples. Cela avait été fait par Kottwitz et Shelstad pour les éléments fortement réguliers. Mais le cas des éléments singuliers s’est avéré très délicat et a nécessité une étude cas par cas des centralisateurs tordus au moyen de la classification des groupes semi-simples et de leurs automorphismes. Ce travail, commencé lors d'un séjour à Princeton à l'IAS en hiver 2001, n'a abouti que tout récemment. Ayant maintenant trouvé la bonne formulation, ce travail est en cours de rédaction.

Projets de Recherches

Au cours de sa recherche des années 2001-2002, G. Kasparov a étudié des groupes K0(C*(G )) et K0(C*red(G )) pour G =SL3(Z) et construit certains éléments de ces groupes. La question principale maintenant est de comprendre si les éléments construits appartiennent à l'image de l'homomorphisme de Baum-Connes.

G. Kasparov va continuer de travailler sur la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour des groupes agissants proprement, isométriquement sur des variétés à courbure strictement négative.

M. Puschnigg projette de calculer la partie nonhomogène de la cohomologie cyclique locale HC*loc(A(G )) des bonnes complétions A(G ) de l'algèbre du groupe hyperbolique G . Le but est de décider si le caractère de Chern-Connes bivariant équivariant chA(G )biv (g ) de l'élément g KKG (,) construit par G. Kasparov et G. Skandalis est égal à 1.

De plus, M. Puschnigg a prévu d'analyser la cohomologie cyclique locale des produits croisés 1(G ,C(X)) et C(X)G associés aux actions moyennables des groupes discrets G sur des espaces (ou variétés) compacts X.

A. Wassermann se propose d'étudier, avec Sorin Popa, la classification des actions de groupes de Lie compacts sur les facteurs de type III, en utilisant des cocycles non abéliens en théorie ergodique.

Il étudie la construction des sous-groupes quantiques à partir des données combinatoires en mécanique statistique (avec Vaughan Jones) et des représentations du groupe de tresses (avec Hans Wenzl).

Avec Vaughan Jones, il doit rédiger la théorie unitaire des représentations d’énergie positive des groupes de lacets exceptionnels et la construction des sous-facteurs irréductibles associés (avec Vaughan Jones).

A. Wassermann projette de montrer la non-existence d'actions ou de G-noyaux sur les facteurs non hyperfinis et non stables, par exemple sur les facteurs du groupe libre. Il projette de travailler à la formulation d'un analogue de la conjecture de Connes-Kasparov pour les groupes de lacets en K-homologie, utilisant l’opérateur de Dirac sur LG/LT (avec Peter Teichner et Stefan Stolz).

Il espère préciser en termes des sous-facteurs et fusion de Connes de toutes les propriétés souhaitées par Teichner et Stolz dans leur étude des structures "string" sur l’espace des lacets d'une variété spinorielle, propriétés prédites par la théorie des cordes.

Il pense étudier les C*-algèbres des pseudogroupes ou des groupoïdes étales associées au groupe de difféomorphismes d'une variété spinorielle (avec Thomas Schucker et Bruno Iochum).

Enfin A. Wassermann veut développer le formalisme opératoriel de la théorie conforme des champs au bord (avec Andreas Recknagel).

Richard Zekri propose, en collaboration avec A. Kossiak, d'étudier les algèbres de von Neumann associées à certains groupes de dimension infinie. L'une des perspectives est l'obtention d’exemples et d’énoncés concernant les propriétés (facteur ou non, décomposition, types,…) de produits croisés infinis d'algèbres de von Neumann. Les groupes étudiés pourront être des groupes de matrices trigonales du type B = {1 + k<n xk,n ek,n / xk,n R} (les ek,n étant les unités matricielles), pour lesquels ils ont déja établi certaines propriétés, ou, plus généralement, des produits semi directs infinis, considérés comme limites inductives. Ils projettent la mise au point d'une méthode plus systématique de construction de représentations unitaires de ces groupes. Le point de départ étant la définition d'une algèbre de von Neumann en forme standard, prenant la place de l'algèbre L(G), lorsque G est de dimension infinie. Par exemple, pour G = B, cette algèbre correspond au poids associé à une mesure gaussienne choisie sur le groupe, qui se substitue au poids de Haar, inexistant dans ce cas-là. L'algèbre de von Neumann à gauche, L(G), devra être construite de manière à conserver une notion de dualité analogue (mais non identique) à la dualité d'algèbres de Kac. Notons que l'algèbre à droite, R(G), ne revêt pas automatiquement une signification évidente, le produit semi direct étant infini. Ce problème, déjà rencontré pour le groupe B, comporte des implications sur la notion précise de dualité à attendre. Ce cadre général étant fixé, ils espèrent, en s'appuyant sur des exemples, obtenir des informations sur la structure de ces algèbres.

Il est connu que l'action de Q x Q sur R : w -> a w + b fournit un facteur de type III, ou encore, que des algèbres de type II sont obtenues par certaines actions — mesurables - de groupes discrets. Ceci motive également une étude des groupes de dimension infinie, non plus seulement réels, mais aussi rationnels, p-adiques, etc..., en tentant de comprendre quelles sont les propriétés dépendant directement de l'arithmétique des coefficients.

C. Klimcik se propose d'étudier les D-branes et la dualité du type Poisson-Lie dans le SL(2,C)/SU(2)-WZW modèle.

Il compte également étudier les anomalies de symétries quantiques.

Enfin, C. Klimcik projette d'étudier les origines tridimensionnelles du modèle WZW quasitriangulaire.

J. Carmona et P. Delorme ont un projet de livre sur l'analyse harmonique sur les espaces symétriques réductifs réels.

J. Carmona et P. Delorme comptent travailler sur l'analyse harmonique invariante sur les espaces symétriques réductifs réels : intégrales orbitales...

P. Delorme, avec E. Opdam, espère obtenir une description de la transformée de l’espace de Schwartz des algèbres de Hecke affines.

P. Delorme compte travailler sur l'analyse harmonique sur les espaces symétriques p-adiques.

J. P. Labesse se propose de prolonger son étude de la stabilisation de la formule des traces. En particulier il va tenter de reformuler dans le langage cohomologique qu'il a introduit dans son volume chez Asterisque, les facteurs de transfert de Kottwitz et Shelstad.

Par ailleurs, il envisage la rédaction d'un ouvrage sur la formule des traces.

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