Institut de Mathématiques de Luminy

Équipe
Singularités en Géométrie et Topologie


1 - Singularités et géométrie non commutative.
2 - Classes caractéristiques des variétés singulières.
3 - Variétés toriques.
4 - Topologie des singularités complexes.
5 - Singularités des espaces de représentations.
6 - Opérations de Steenrod et Singularités.
7 - Géométrie Analytique.


5.1. Singularités et géométrie non commutative.

Avec André Legrand (Toulouse), Jean-Paul Brasselet a établi la relation entre géométrie non commutative et singularités. Plus précisément, pour un espace singulier muni d'une "bonne" stratification, on définit un complexe mixte dont l'homologie cyclique périodique correspond à l'homologie d'intersection de la variété singulière. Ce résultat généralise un résultat bien connu d'A. Connes disant que l'homologie cyclique périodique de l'algèbre des fonctions différentiables sur une variété lisse correspond à la cohomologie de de Rham de cette variété.

5.2. Classes caractéristiques des variétés singulières.

Avec D. Lehmann (Montpellier), J. Seade (Mexico) et T. Suwa (Sapporo), Jean-Paul Brasselet a montré la relation entre classes de Schwartz-MacPherson et classes de Fulton-Jonhson dans le cas des intersections complètes. Cette relation s'exprime à l'aide d'une généralisation des nombres de Milnor, déjà introduite et étudiée par A. Parusinski et P. Pragacz.

Des travaux connexes concernent l'étude des fonctions constructibles bivariantes (avec S. Yokura, Kagoshima) et une interprétation des classes de Milnor en Géométrie Algèbrique (avec P. Aluffi, Tallahassee).

Dans un autre travail, avec Lê Dung Tràng (Marseille) et J. Seade, nous montrons que l'obstruction d'Euler locale en un point d'une variété singulière est égale à l'indice d'un champ radial défini sur une section hyperplane générale passant par ce point. L'importance de ce résultat réside dans le fait que l'obstruction d'Euler locale est l'un des ingrédients essentiels de la construction de MacPherson et l'un des invariants locaux fondamentaux des variétés singulières.

5.3. Variétés toriques.

Les variétés toriques sont des objets pour lesquels il est possible d'exprimer de nombreuses propriétés topologiques et géométriques en termes de géométrie combinatoire. Avec K. Fieseler (Uppsala) et G. Barthel et L. Kaup (Konstanz), Jean-Paul Brasselet a étudié l'homologie d'intersection équivariante des variétés toriques (théorèmes d'annulation) et le polynôme de Poincaré correspondant. De cette étude, on déduit une notion de faisceau combinatoire sur les éventails (non nécessairement rationnels) laissant espérer démontrer un "Théorème de Lefschetz vache" pour ces éventails.

5.4. Topologie des singularités complexes.

Anne Pichon a travaillé sur plusieurs programmes de recherche concernant la topologie des singularités de surfaces complexes :

En collaboration avec I. Luengo (Université Complutense de Madrid), elle a décrit l'action topologique de la normalisation sur le link des singularités de surfaces complexes, puis appliqué ce résultat en donnant une description explicite de la topologie du link des singularités d'hypersurfaces en l'origine de C3 d'équations f1(x,y,z) + f2(x,y,z)=0, où f1 et f2 sont deux polynômes homogènes. Anne Pichon et I. Luengo ont aussi travaillé sur la caractérisation des singularités de surfaces dont le link est une sphère. Ils ont démontré la conjecture de Lê D. T. (l'entrelacs est une sphère si et seulement si la singularité est équisingulière unibranche) pour plusieurs grandes familles de singularités.

En collaboration avec F. Michel (Toulouse), Anne Pichon a démontré qu'un germe analytique f : (C3,0) -> (C,0) est à singularité isolée si et seulement si le bord de sa fibre de Milnor est homéomorphe au link de f -1(0) .

Anne Pichon a aussi étudié les familles dégénérées de courbes complexe de genre fixé. Elle a donné une interprétation topologique des travaux de M. Artin et G. Winters en termes de fibrations sur le cercle de variétés de Waldhausen mettant ainsi en évidence leurs relations avec des travaux plus récents de Y. Matsumoto et J. Montesinos.

5.5. Singularités des espaces de représentations.

Le travail de Laetitia Ladurelli concerne la géométrie des espaces de représentations. Elle a étudié de manière explicite la relation entre homologie d'intersection et invariant de Casson. Celui-ci est un invariant des variétés fermées de dimension 3. De façon plus précise, il compte les points d'intersection entre les espaces de SU(2)-représentations des groupes fondamentaux des composantes d'une décomposition de Heegaard de la variété. Ces espaces de représentations sont vus comme des cycles dans un espace (singulier) de représentations d'un groupe fondamental. Une étude fine de la géométrie des singularités de cet espace a permis de donner une caractérisation de la géométrie locale au voisinage des strates d'une "bonne" stratification en termes de géométrie symplectique.

5.6. Opérations de Steenrod et Singularités.

Adriana Ciampella (Post-doc TMR, Napoli) étudie la possibilité de définir les opérations de Steenrod, de façon systématique en homologie cyclique. Le but est de définir des opérations de Steenrod dans le cas singulier (généralisant en cela les travaux de Loday et Karoubi).

5.7. Géométrie Analytique.

Pasquale Zito (Post-doc TMR, Roma) et Jörg Schürmann (Post-doc TMR, Hambourg) travaillent actuellement au sein de l'équipe "Singularités", respectivement sur les C*-algèbres et Homologie cyclique et sur les définitions des faisceaux pervers, ceci dans le cadre du contrat TMR "Géométrie Analytique".

Last update : September 22, 2001, EL.