Institut de Mathématiques de Luminy

Équipe
Géométrie Non Commutative

Rapport scientifique 1999-2000

1 - Algèbres d'opérateurs et groupes de Lie.

3.1. Algèbres d'opérateurs et groupes de Lie.


3.1.1. K-théorie.

Pour les sous-groupes arithmétiques de groupes de Lie semi-simples G, Kasparov construit un homomorphisme K0(C*red(G)) -> K0(C*()) défini sur un sous-groupe de K0(C*red(G)) de corang fini. Cet homomorphisme est naturellement relié à l'homomorphisme K0(C*red(G)) -> Z qui associe à chaque représentation de série discrète de G sa multiplicité dans la partie cuspidale de L2(G/). On espère de pouvoir calculer ces multiplicités classiques de représentations de série discrète par des méthodes complètement topologiques et obtenir des analogues du théorème de Langlands qui exprime ces multiplicités sans le cas de sous-groupes cocompacts discrets de G. Pour l'instant, la construction de l'homomorphisme K0(C*red(G)) -> K0(C*()) a été fait pour certains groupes G de rang 1 (groupes de Lorentz), mais doit être généralisable aux groupes G quelconques.

A. Kossiak a construit, pour un groupe G, de dimension infinie, certains analogues de la représentation régulière, en utilisant des mesures G-quasi invariantes sur un groupe , qui contient G comme sous groupe dense. Une telle mesure n'est pas en général unique, et il n'y a pas de choix de mesure canonique. Un problème consiste à classifier ces mesures par les propriétés de la représentation correspondante. Dans ce travail, nous nous sommes intéressés au groupe G = B0, limite inductive stricte des groupes Bn, de matrices (réelles) inversibles, triangulaires supérieures, de dimension n. A. Kossiak et R. Zekri ont étudié les propriétés de l'algèbre de von Neumann de la représentation régulière de B0 pour divers choix de mesures admissibles, identifié le commutant de cette algèbre, et obtenu des conditions suffisantes pour que la représentation soit factorielle. Ceci complète des résultats antérieurs de Kossiak qui dégageait des critères d'irréductibilité pour ce type de représentations. Ils ont étudié un analogue des opérateurs pseudo différentiels sur l'espace euclidien de dimension infinie R (les groupes du type B0 ont une action canonique sur cet espace). Ils ont défini une notion d'indice adaptée pour cela, et établi une extension des opérateurs pseudo différentiels en dimension infinie. Ils ont étudié les liens avec un produit infini en K-homologie.

3.1.2. Étude des structures de C*-algèbre de Hopf.

Étienne Blanchard donne une borne explicite au nombre possible de C*-algèbres de Hopf, de dimension finie, n, donnée.

3.1.3. Classification des C*-algèbres nucléaires.

En collaboration avec E. Kirchberg, Étienne Blanchard a étudié la classification des C*-algèbres nucléaires à travers des invariants K-théoriques.

3.1.4. Algèbres d'opérateurs et théorie conforme des champs.

La fusion de Connes et les sous-facteurs fournissent un langage pour comprendre la théorie conforme des champs unitaire, une partie mathématique de la théorie des cordes fermées. Cette approche peut être utilisée également pour étudier la théorie conforme des champs à bord, qui est reliée à la fois à la théorie des cordes ouvertes (D-branes), aux modèles des réseaux à bord et aux invariants modulaires. La notion algébrique qu'il faut introduire est celle de sous-groupe quantique. Elle généralise les systèmes d'imprimitivité de Mackey aux catégories tensorielles tressées des représentations des algèbres à vertex. Comme première étape pour établir le formalisme opératoriel prédit par Cardy, A. Wassermann a prouvé une correspondance entre les sous-groupes quantiques et les extensions d'algèbres à vertex. Avec V. Jones, A. Wassermann a démontré comment construire des sous-groupes quantiques à partir d'un "commuting square" relié aux modèles des réseaux résolubles. Les algèbres centralisatrices des sous-groupes quantiques fournissent une construction simple des algèbres planaires exceptionnelles de Jones. Avec Wenzl, A. Wassermann a démontré comment utiliser les représentations des groupes de tresses et des théorèmes de reconstruction dus à Kazhdan-Wenzl pour construire des sous-groupes quantiques.

Une prédiction significative de Baxter pour les modèles des réseaux résolubles est que le spectre de l'hamiltonien de la matrice de transfert "corner" est contenu dans l'ensemble des entiers positifs. L'école de Kyoto s'est aperçue que les algèbres affines quantiques produisent toutes les données algébriques de Baxter, sans donner le lien direct avec les modèles originaux. L'hamiltonien définit une dérivation non bornée de la C*-algèbre des observations locales. On sait qu'il existe des états fondamentaux. A. Wassermann conjecture qu'ils sont uniques et qu'ils donnent des générateurs avec le spectre souhaité. C'est vrai pour le modèle d'Ising. En utilisant les algèbres affines quantiques et leurs opérateurs à vertex, il paraît possible de construire les états fondamentaux explicitement et, par conséquent, démontrer les prédictions de Baxter pour les modèles de Andrews-Baxter-Forrester.

3.1.5. Groupes de Poisson-Lie.

C. Klimcik a étudié le modèle de théorie de champs topologique sous-jacente à la formule de Kontsevich pour certains groupes de Poisson-Lie. Il a démontré que la fonction de partition de ce modèle est explicitement calculable et donne une liaison intéressante avec la formule de Verlinde. C. Klimcik et S. Parkhomenko ont généralisé le concept de la dualité de Poisson-Lie pour le cas où l'impulsion non-abélienne n'est pas égale à l'unité dans le groupe dual. C. Klimcik a construit une q-déformation de modèle de Weiss-Zumino-Witten et démontré que sa structure quasiclassique est entièrement déterminée par les r-matrices ordinaires et dynamiques. En construisant un certain modèle topologique, C. Klimcik et T. Strobl ont développé un concept de variété de WZW-Poisson, ce qui est une généralisation du concept de géométrie de Poisson. P. Delorme, répondant à une question posée par C. Klimcik, a étudié les triples de Manin dans une algèbre de Lie réductive complexe. Il s'agit d'étudier des structures de bigèbres de Lie dont le double de Drinfeld est une algèbre de Lie réductive donnée. Une classification complète est obtenue. Elle contient en particulier la classification de certaines r-matrices par Belavin-Drinfeld.

3.1.6. Analyse harmonique sur les espaces symétriques réductifs.

J. Carmona a construit des plongements explicites des séries discrètes dans les séries principales pour un espace symétrique semi-simple. Il a aussi retrouvé une des caractérisations de croissance qu'avait établies Oshima, en évitant la théorie des hyperfonctions. K. Ankabout a étudié les relations d'orthogonalités de Schur généralisées pour les espaces symétriques réductifs. On étudie l'intégrale du produit de deux coefficients de représentations sphériques, tempérées pour l'espace symétrique, génériques en un certain sens, multipliés par un facteur dépendant de , qui tend vers 1 quand tend vers 0. Cette intégrale, multipliée par une puissance de , liée à la dimension du support de la mesure de Plancherel au voisinage des représentations considérées, a une limite qui peut être non nulle et est explicitée. S. Souaifi a étudié l'espace des fonctions K-finies et D(G/H)-finies sur un espace symétrique réductif G/H. Dans le cas de la droite réelle, cet espace est engendré par les exponentielles polynômes. Celles-ci sont obtenues par dérivation par rapport au paramètre des e ix. Souaifi montre que ceci se généralise aux espaces symétriques réductifs, en remplaçant les exponentielles par les intégrales d'Eisenstein.

Last update : September 22, 2001, EL.