Institut de Mathématiques de Luminy

Équipe
Arithmétique et
Théorie de l'Information

1 - Théorie des nombres
2 - Géométrie algébrique sur les corps finis
3 - Géométrie des nombres
4 - Théorie des codes

1.1. Théorie des nombres.

1.1.1. Théorème de Brauer-Siegel.

Michael Tsfasman et Serge Vladuts ont travaillé sur la théorie asymptotique des corps de nombres et des corps de fonctions. Ils ont généralisé les inégalités d'Odlyzko-Serre pour le discriminant, ils ont énoncé et démontré une généralisation du Théorème de Brauer-Siegel, et ils ont construit des contre-exemples au théorème classique en construisant des tours de corps de classes non ramifiées. Ils ont aussi défini des fonctions zêta limites pour les extensions infinies.

1.1.2. Fonctions algébriques et points sur les courbes.

Michel Laurent et Dimitrios Poulakis ont repris des travaux classiques sur les propriétés diophantiennes des fonctions algébriques. Ils ont mis en évidence des "inégalités de Liouville" sur une courbe algébrique plane. Ils en déduisent un énoncé effectif du théorème d'irréductibilité de Hilbert. Des majorations polynomiales pour les solutions entières de certaines équations superelliptiques, ou plus généralement des équations à variables séparées sont obtenues comme corollaire.

Michel Laurent dirige aussi la thèse de Nicolas Gouillon centrée sur l'étude des formes linéaires en deux logarithmes.

1.1.3. Hypothèse de Riemann et formes toriques.

En partant des idées d'Alain Connes, Gilles Lachaud a construit un espace T() de fonctions continues sur un espace homogène adélique associé à un caractère de Hecke d'un corps de nombres. La fonction L(s, ) satisfait l'hypothèse de Riemann si et seulement si T() est un espace préhilbertien. Si tel est le cas, il y a un opérateur auto-adjoint dans T() dont le spectre est le lieu des zéros de la fonction L(1/2 + it, ).

1.1.4. Corps de classes.

Dans sa thèse, Alexandre Temkine a obtenu des tours de corps de classes de corps de nombres avec un taux d'inertie arbitrairement bas en un certain sens.

1.1.5. Corps réels abéliens.

Dans sa thèse, Imane Islim a calculé les systèmes fondamentaux d'unités de certains corps réels abéliens de degré 8.

1.2. Géométrie algébrique sur les corps finis.

1.2.1. Variétés abéliennes.

S. Vladuts a étudié la répartition des angles des Frobenius dans les classes d'isogénie des variétés abéliennes sur un corps fini ; il a démontré que la mesure limite correspondante (pour q -> est donné par la "racine carrée" de la mesure de Sato-Tate.

1.2.2. Tours de corps de fonctions.

Dans sa thèse, Alexandre Temkine a obtenu de nouvelles tours de corps de classes de corps de fonctions asymptotiquement bonnes, et de nouvelles minorations du nombre A(q).

1.2.3. Sommes exponentielles.

Dans sa thèse, Régis Blache a donné des majorations de sommes exponentielles pour certaines courbes projectives lisses définies sur un anneau de Galois. Les ensembles de sommation sont des sections locales de l'image de la courbe par le foncteur de Greenberg, ce qui lui permet de définir des ensembles de Teichmüller sur ces courbes. Les sommes exponentielles considérées sont des sommes de caractères associées à un vecteur de Witt de fonctions.

1.2.4. Variétés singulières sur les corps finis.

Gilles Lachaud et Sudhir Ghorpade ont obtenu des inégalités très étroites pour le nombre de points d'une variété projective irréductible éventuellement singulière de dimension quelconque. Ils ont également donné une interprétation motivique de la variété de Picard et de la variété d'Albanese pour des variétés singulières.

1.2.5. Variétés toriques.

Dans sa thèse, Cédric Cornus a calculé la fonction zêta, les nombres de Betti virtuels, et le nombre de points des variétés toriques non déployées définies sur un corps fini. Il a aussi calculé la cohomologie l-adique de ces variétés, en utilisant des complexes d'Ishida ; il a ainsi établi que cette cohomologie provient de motifs.

1.2.6. Revêtements de courbes singulières.

Yves Aubry a obtenu, avec Marc Perret, un analogue géométrique d'une conjecture d'Artin sur le quotient des fonctions zêtas de Dedekind dans une extension. Ils ont établi la divisibilité des numérateurs des fonctions zêtas pour un revêtement plat de courbes irréductibles singulières. On retrouve en corollaire, une estimation de la différence des nombres de points rationnels de ces courbes, ce qui généralise la borne de Weil usuelle. Il ont donné une interprétation de ce résultat en termes de variétés semi-abéliennes.

1.2.7. Jacobiennes des courbes de genre 3.

En cryptographie, il est utile de pouvoir disposer de variétés abéliennes de petit genre dont le nombre de points est premier ou presque premier. Gilles Lachaud a étudié les jacobiennes des quartiques ternaires sur un corps fini contenant un groupe d'automorphismes isomorphe au ViererGruppe de Klein. Les premiers résultats obtenus sont encourageants.

1.3. Géométrie des Nombres.

1.3.1. Réseaux unimodulaires.

Dans sa thèse, Alexandre Temkine a obtenu des familles de réseaux unimodulaires asymptotiquement bonnes construites à partir de tours de corps de classes.

1.3.2. Statistique des empilements et des réseaux.

A la frontière entre les statistiques et la géométrie, Michael Tsfasman et S.Shlosman étudient les propriétés des réseaux et des empilements de sphères aléatoires. En gros, la densité d'un empilement de sphères aléatoires est le même que celui d'un réseau aléatoire.

1.3.3. Voiles et polyèdres de Klein.

L'ensemble de Klein d'une partie convexe A de l'espace euclidien E est l'enveloppe convexe des points entiers contenus dans A. Le polyèdre de Klein de A est l'adhérence de l'ensemble de Klein (c'est un polyèdre généralisé) ; la voile de A est la frontière de son polyèdre de Klein. Gilles Lachaud a étudié le polyèdre de Klein d'une partie quelconque de E, qui s'est révélé un sujet délicat d'analyse convexe.

Dans sa thèse, Imane Islim a calculé les voiles et les polyèdres de Klein associés à des extensions quartiques.

1.4. Théorie des codes.

1.4.1. Codes construits sur les surfaces de Deligne-Lusztig.

François Rodier a produit un schéma général de construction de codes à partir d'un groupe réductif fini G (du type de Steinberg) et d'un sous-groupe parabolique P. Il a calculé les paramètres de certains codes, lié à une surface de type 2A4, ou bien les codes associés à des variétés G/P où G = GL(n).

1.4.2. Poids des duaux des codes BCH.

François Rodier a entrepris, avec un étudiant en thèse, Éric Férard, une étude sur la borne inférieure de la distance minimale de certains codes duaux de codes BCH de distances imposées supérieures à 9. La non-existence de jacobiennes possédant certaines propriétés entraîne l'inexistence de certains poids. Ils ont obtenu de meilleures bornes pour la plupart des valeurs impaires de l'exposant de q, et pour les valeurs paires de l'exposant de q, dans certains cas, le code n'atteint pas la borne classique de Carlitz-Uchiyama ; ils donnent une borne meilleure.

1.4.3. Codes de Reed-Muller.

François Rodier a étudié le rayon de recouvrement du code de Reed-Muller du premier ordre en dimension impaire. Pour m impair, on n'a des résultats que pour m petit. Le résultat asymptotique revient à étudier la limite (lorsque m tend vers l'infini) de la borne inférieure des normes uniformes des transformées de Fourier des fonctions booléennes sur le corps à 2m éléments.

En analogie avec le même problème pour les séries de Fourier, il a été amené à étudier la même limite, mais avec la norme L4. Le théorème de Gärtner-Ellis sur les grandes déviations et certaines majorations de variables aléatoires devrait impliquer que cette limite est égale à 1. Pour l'instant, il a déjà montré que les suites considérées, normalisées et centrées, convergent en loi vers la loi normale centrée de variance 30.

1.4.4. Vecteurs de poids minimal.

S. Vladuts a démontré, avec A. Ashikhmin et A. Barg, qu'il existe une famille de codes binaires pour lesquels le nombre de vecteurs de poids minimal est exponentiel ; ce résultat réfute une conjecture de G.Kalai et N. Linial (1995).

1.4.5. Codes quantiques.

Michael Tsfasman, A.Ashikhmin et S.Litsyn ont travaillé sur les relations entre codes classiques et codes quantiques. Ils ont donné la première construction des codes quantiques asymptotiquement bons, basés sur les codes symplectiques obtenus via les codes de la géométrie algébrique.

Last update : September 22, 2001, EL.