Institut de Mathématiques de Luminy

DYNAMIQUE, ARITHMÉTIQUE, COMBINATOIRE

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Rapport scientifique 2006-2009
(3,9 Mo)
(scientific report)

Thèmes de recherche

Il est apparu dans les années 80 que l'arithmétique et les systèmes dynamiques avaient une synergie forte, passant en particulier par l'utilisation de méthodes issues de la théorie des langages et de la combinatoire. Un exemple frappant parmi d'autres : les suites sturmiennes sur un alphabet fini - celles dont le nombre de facteurs de longueur n vaut n + 1 - engendrent des systèmes dynamiques qui sont les bonnes représentations symboliques des rotations irrationnelles du tore, et ceux-là seulement. Un autre, moins actuel dans nos travaux : la notion de généricité en dynamique topologique est une copie conforme de celle d'équirépartition en arithmétique.

Le projet de la dynamique symbolique consiste à trouver des représentations symboliques de systèmes connus, différentiables, parfois différentiables par morceaux ; en sens inverse, et moins classiquement, à trouver des interprétations géométriques de systèmes symboliques naturels.

Dans ce domaine une spécialité particulière à l'IML, passée, présente et future, est l'interprétation de la complexité des systèmes dynamiques. La notion est au départ symbolique (la fonction complexité compte le nombre de mots de longueur n d'un système symbolique) mais on lui donne facilement une définition topologique ou probabiliste. Très schématiquement, l'entropie est la limite du quotient par n du logarithme de la fonction complexité ; mais il s'avère que quand l'entropie est nulle, une étude un peu plus fine de la complexité peut donner des informations essentielles sur le système considéré et ses propriétés combinatoires, mesurées, topologiques et même géométriques. Cette complexité (combinatoire à la base) évoque, d'une facon qui n'a rien de mécanique, les notions de complexité algorithmique (du côté de l'informatique) et de chaos (du côté de la physique théorique).

Un autre thème est en train d'émerger, celui des pavages. Il se manifeste au départ comme une des facons de généraliser les mots infinis en dimension supérieure. Il possède un versant combinatoire : la complexité, pour laquelle on ne possède pas pour l'instant, même en dimension 2, de définition canonique. Il a aussi des aspects géométriques, comme le lien avec les partitions de Markov des automorphismes du tore, avec les approximations des plans par des cubes; topologiques : le caractère fractal du bord des pavés, la dimension de Hausdorff; et enfin arithmétiques : mentionnons seulement le fait que les pavages sont reliés aux systèmes de numération en base non entière.

Signalons au passage des recherches très variées en arithmétique (somme des chiffres), en théorie ergodique, en dynamique topologique, sur les automates cellulaires. Elles complètent et diversifient le travail effectué sur la complexité et les pavages.

A signaler enfin deux thèmes appliqués : l'étude des suites quasi-aléatoires qui utilise diverses méthodes - corps finis, combinatoire, dynamique symbolique - pour la construction et l'étude de "bonnes suites au hasard" utilisées pour l'intégration simulée de type Monte-Carlo; l'investigation des séquences génomiques qui est un domaine où les savoir-faire issus de la dynamique symbolique au sens large doivent trouver et commencent à trouver des applications intéressantes, sans pour autant exclure d'autres points de vue mathématiques. La réécriture des séquences, notamment, est une méthode symbolique simple, mise au point pour une bonne part à l'IML, et qui permet un abord conceptuel nouveau et algorithmiquement efficace de certaines questions posées depuis longtemps par les biologistes.

(version 1997)


Dernière mise à jour le 2 juin 2010, EL