Institut de Mathématiques de Luminy

ARITHMÉTIQUE ET THÉORIE DE L'INFORMATION

Vous pouvez également obtenir une présentation détaillée des activités dans le :
Rapport scientifique 1999-2000


Thèmes de recherche

Le dictionnaire ouvert par Dedekind entre la géométrie des courbes sur les corps finis et l'arithmétique des corps de nombres est maintenant enrichi par les liens organiques qui existent entre ces notions et des objets comme les codes linéaires, les réseaux ou les graphes. Cette double orientation des recherches se manifeste dans les grands thèmes que nous avons développés ces dernières années :

Fonder la théorie des codes correcteurs d'erreurs sur la géométrie algébrique.

Les codes correcteurs sont d'usage constant non seulement dans le traitement des erreurs, mais aussi en cryptographie, en particulier avec les codes d'authentification, dans la compression de données et plus généralement dans tout traitement linéaire de l'information. Les courbes et les variétés avec un nombre de points maximum sont des éléments extrémaux dans leur catégorie. A cet égard, la détermination des surfaces maximales ouvre de nouveaux champs d'investigation. Plus généralement, ces variétés, ces courbes et les bornes explicites satisfaites par le nombre de leurs points jouent un rôle crucial dans la détermination exacte ou asymptotique des bornes limites de la théorie de l'information. En sens inverse, les objets qui apparaissent naturellement dans cette théorie, comme par exemple les codes de Reed-Muller, ont des propriétés géométriques remarquables, ou encore donnent lieu à l'introduction de nouveaux concepts en géométrie algébrique, comme l'a montré l'analyse des fonctions zeta des familles de corps globaux.

Dégager les principes géométriques utilisés en approximation diophantienne.

Ce sujet classique, issu de la théorie des fractions continues, a un aspect qualitatif, qui consiste à définir les meilleures approximations de telle sorte que les propriétés usuelles de périodicité soient satisfaites, et un aspect quantitatif, matérialisé par la méthode des formes linéaires en logarithmes, où la géométrie algébrique intervient à nouveau. Les applications à la résolution des équations diophantiennes, celle de Catalan par exemple, sont bien connues.


Dernière mise à jour le 11 octobre 2001 , EL